Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots$, στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της ${\alpha }_{\nu }$, ${\alpha }_{\nu +1}$ ισχύει ότι ${\alpha }_{\nu +1}={\alpha }_{\nu }+\omega$, για μία σταθερή ποσότητα $\omega$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Η ποσότητα $\omega$ ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το $\nu$, τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους ορισμούς:

• Γενικός τύπος: ${\alpha }_{\nu }={\alpha }_1+(\nu -1)\cdot \omega$, όπου ορίζεται ο $\nu$-οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
• Αναδρομικός τύπος: ${\alpha }_{\nu +1}={\alpha }_{\nu }+\omega$ για $\nu \ge 1$, όπου ορίζεται ο $\nu$-οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για ${\alpha }_1=4$ και $\omega =5$, οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι

${\alpha }_1=4,{\alpha }_2=9,{\alpha }_3=14,{\alpha }_4=19,\dots$

και για ${\alpha }_1=3$ και $\omega =-7$

${\alpha }_1=3,{\alpha }_2=-4,{\alpha }_3=-11,{\alpha }_4=-18,\dots$

Η αριθμητική πρόοδος ικανοποιεί την γραμμική αναδρομική σχέση πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές και σταθερή οδηγό συνάρτηση.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Παραδείγματα

Αρχείο:Arithmetic seq examples.svg

Παραδείγματα αριθμητικών προόδων με διαφορά $\omega >0$, $\omega =0$ και $\omega <0$.

• Αν $\omega =1$ και ${\alpha }_1=1$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: ${\alpha }_1=1,{\alpha }_2=2,{\alpha }_3=3,\dots$.
• Αν $\omega =2$ και ${\alpha }_1=2$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: ${\alpha }_1=2,{\alpha }_2=4,{\alpha }_3=6,\dots$. Αντίστοιχα, για $\omega =-2$ και ${\alpha }_1=-2$, είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: ${\alpha }_1=-2,{\alpha }_2=-4,{\alpha }_3=-6,\dots$.
• Αν $\omega =2$ και ${\alpha }_1=1$ τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: ${\alpha }_1=1,{\alpha }_2=3,{\alpha }_3=5,\dots$. Αντίστοιχα, για $\omega =-2$ και ${\alpha }_1=-1$, είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: ${\alpha }_1=-1,{\alpha }_2=-3,{\alpha }_3=-5,\dots$.

Σχέση με άλλες ακολουθίες

• Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_{\nu },\dots$ με ${\alpha }_{\nu }\ne 0$ ώστε η ακολουθία: $\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\dots ,\frac{1}{a_{\nu }}$, αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
• Αν $({\alpha }_{\nu }{)}_{\nu =1}^{\mathrm{\infty }}$ είναι μία γεωμετρική πρόοδος με ${\alpha }_{\nu }>0$ και λόγο $\lambda$, τότε η ακολουθία ${\beta }_{\nu }=\log {\alpha }_{\nu }$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\omega =\log \lambda$, καθώς ${\beta }_{\nu }=\log {\alpha }_{\nu }=\log ({\alpha }_1{\lambda }^{\nu -1})=\log {\alpha }_1+(\nu -1)\cdot \log \lambda$.

Ισοδυναμία ορισμών

Γενικός σε αναδρομικό τύπο

Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι ${\alpha }_{\nu +1}={\alpha }_1+\nu \cdot \omega =({\alpha }_1+(\nu -1)\cdot \omega )+\omega ={\alpha }_{\nu }+\omega$, και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό.

Αναδρομικός σε γενικό τύπο

Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.Πρότυπο:R

Βασική Περίπτωση: Για $\nu =1$, έχουμε ότι ${\alpha }_1+(\nu -1)\cdot \omega ={\alpha }_1+(1-1)\cdot \omega ={\alpha }_1$.

Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για $\nu =\kappa$, δηλαδή ${\alpha }_{\kappa }={\alpha }_1+(\kappa -1)\cdot \omega$, θα δείξουμε ότι ισχύει και για $\nu =\kappa +1$. Από τον αναδρομικό τύπο,

${\alpha }_{\kappa +1}={\alpha }_{\kappa }+\omega ={\alpha }_1+(\kappa -1)\cdot \omega +\omega ={\alpha }_1+\kappa \cdot \omega .$

Επομένως ισχύει και για $\nu =\kappa +1$ και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς $\nu$.

Ιδιότητες της προόδου

Αρχείο:Arithmetic seq examples with lines.svg

Τρία παραδείγματα αριθμητικών προόδων και τα σημεία πάνω στα οποία ανήκουν. Η κλίση της ευθείας είναι $\omega$.

Μονοτονία

Καθώς $\omega ={\alpha }_{\nu +1}-{\alpha }_{\nu }$, προκύπτει άμεσα ότι:

• Αν $\omega >0$, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
• Αν $\omega <0$, η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
• Αν $\omega =0$, η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Γραφική παράσταση

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με $\omega$.

Άθροισμα πρώτων όρων

Το άθροισμα των $\nu$ πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου ${\alpha }_{\nu }$ (με πρώτο όρο τον ${\alpha }_1$) ισούται μεΠρότυπο:RΠρότυπο:RΠρότυπο:R

${\mathrm{\Sigma }}_{\nu }:=\sum _{\kappa =1}^{\nu }{\alpha }_{\kappa }=\frac{\nu ({\alpha }_1+{\alpha }_{\nu })}{2}={\alpha }_1\cdot \nu +\omega \cdot \frac{\nu \cdot (\nu -1)}{2}.$

Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα $1+2+3+\dots +99+100$ και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος. Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη

Μέσος όρος

Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών $\alpha$ και $\gamma$ είναι ο $\beta$, αν και μόνο αν οι όροι $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Υπολογισμός

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της ακολουθίας

#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός καινούργιου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων.

double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}

Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή $\mathrm{\Theta }(n)$ πράξεις.

double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστικές εφαρμογές στις αριθμητικές προόδους
• Αριθμητική πρόοδος: Θεωρία και προβλήματα

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
• Γεωμετρική πρόοδος
• Αρμονική πρόοδος

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Commonscat2

Πρότυπο:Authority control