Αρμονική πρόοδος

Πρότυπο:Πηγές Αρμονική πρόοδος είναι η ακολουθία, στην οποία κανένας όρος δεν ισούται με το μηδέν και για δύο διαδοχικούς όρους της α_ν, α_ν+1 ισχύει ότι $\frac{1}{{\alpha }_{\nu +1}}-\frac{1}{{\alpha }_{\nu }}=\omega$, όπου ω μία σταθερή ποσότητα. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν για οποιουσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους μιας ακολουθίας ισχύει η παραπάνω σχέση τότε αυτή η ακολουθία είναι αρμονική πρόοδος. Έτσι, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο τύπους:

• Γενικός τύπος: ${\alpha }_{\nu }=\frac{1}{\frac{1}{{\alpha }_1}+(\nu -1)\omega }$
• Αναδρομικός τύπος: ${\alpha }_{\nu +1}=\frac{1}{\omega +\frac{1}{{\alpha }_{\nu }}}$

Ιδιότητες της προόδου

• Η γραφική παράσταση της αρμονικής προόδου είναι διαδοχικά σημεία ενός κλάδου δίκλαδης υπερβολής με κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, η οποία όμως έχει μετατοπιστεί οριζόντια κατά $1-\frac{1}{\omega a_1}$

• Ο αρμονικός μέσος όρος δύο αριθμών α,γ είναι ο β, αν και μόνο αν οι όροι α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αρμονικής προόδου.

• Αν ω=0 και τότε η αρμονική πρόοδος είναι άπειροι ίσοι μεταξύ τους όροι με τον α₁.