Νόμος των συνημιτόνων

Σχήμα 1: Ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$.

Στην τριγωνομετρία, ο νόμος των συνημιτόνων αποτελεί μια γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, που συνδέει το μήκος των τριών πλευρών ενός τριγώνου και το συνημίτονο μίας εκ των γωνιών. Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma$ δίνει τις εξής σχέσεις:

${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \cdot \cos \mathrm{\Gamma }$,

${\alpha }^2={\beta }^2+{\gamma }^2-2\beta \gamma \cdot \cos \mathrm{A}$,

${\beta }^2={\gamma }^2+{\alpha }^2-2\gamma \alpha \cdot \cos \mathrm{B}$.

Ο νόμος των συνημιτόνων είναι μία από τις βασικές σχέσεις που χρησιμοποιείται για να "λύσει ένα τρίγωνο". Συγκεκριμένα, (i) δοσμένων των μηκών δύο πλευρών ενός τριγώνου και της περιεχόμενης τους γωνίας, μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της τρίτης πλευράς και (ii) δοσμένων των μηκών των τριών πλευρών μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγεθος των γωνιών του (δείτε παρακάτω).

Μία απλή εφαρμογή

Έστω ότι θέλουμε να χτίσουμε ένα τούνελ σε ένα βουνό μεταξύ δύο σημείων $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$. Για να υπολογίσουμε το κόστος κατασκευής πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος του τούνελ, δηλαδή την απόσταση μεταξύ του $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$. Δεν μπορούμε να την μετρήσουμε κατευθείαν καθώς υπάρχει το βουνό μεταξύ τους.

Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να σταθούμε σε ένα σημείο $\mathrm{\Gamma }$ και να μετρήσουμε τις αποστάσεις προς το $\mathrm{A}$ και το $\mathrm{B}$ (διαλέγοντας το $\mathrm{\Gamma }$ ώστε να μην μεσολαβεί βουνό μεταξύ τους) και επίσης μετράμε την γωνία $\hat{\mathrm{\Gamma }}$. Αυτές οι πληροφορίες είναι αρκετές για να βρούμε την απόσταση μεταξύ των $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$, χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων, δηλαδή

$\mathrm{A}\mathrm{B}=\gamma =\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \cdot \cos \mathrm{\Gamma }}$,

όπου όλα τα στοιχεία του δεξιού μέλους είναι γνωστά.

Ιστορικά

Σχήμα 2: Τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με ύψος $\mathrm{B}\mathrm{H}$.

Τα Στοιχεία του Ευκλείδη, που χρονολογούνται από τον 3ο αιώνα π.Χ., περιείχαν ήδη μια γεωμετρική προσέγγιση της γενίκευσης του πυθαγόρειου θεωρήματος. Συγκεκριμένα: οι προτάσεις 12 και 13 του 2ου βιβλίου αντιμετωπίζουν τις περιπτώσεις ενός αμβλυγώνιου και ενός οξυγώνιου αντίστοιχα. Η απουσία τριγωνομετρικής και αλγεβρικής ερμηνείας όμως απαιτούσε επαναδιατύπωση του θεωρήματος. Συγκεκριμένα η πρόταση 12: Πρότυπο:Ρήση Έστω $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ αμβλυγώνιο τρίγωνο με το ύψος του $\mathrm{B}\mathrm{H}$ (Σχήμα 2), μπορούμε με τις σύγχρονες μεθόδους να συνοψίσουμε την πρόταση ως εξής:

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2={\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}}^2+{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}^2+2\cdot \mathrm{\Gamma }\mathrm{A}\cdot \mathrm{\Gamma }\mathrm{H}$.

Η αραβο-μουσουλμανική τριγωνομετρία τον Μεσαίωνα συνείσφερε στη βελτίωση του θεωρήματος: ο αστρονόμος και μαθηματικός Αλ-Μπατάνι γενίκευσε την πρόταση του Ευκλείδη στην σφαιρική γεωμετρία τον 10ο αιώνα, κάτι το οποίο επέτρεψε τον υπολογισμό των γωνιακών αποστάσεων μεταξύ αστέρων. Εκείνη την περίοδο συντάχθηκαν και οι πρώτοι τριγωνομετρικοί πίνακες για το ημίτονο και το συνημίτονο, επιτρέποντας στον Άλ-Κασί, μαθηματικό της σχολής της Σαμαρκάνδης, να μορφοποιήσει το θεώρημα ώστε να το χρησιμοποιήσει στον τριγωνισμό, τον 15ο αιώνα. Αργότερα, το θεώρημα έγινε γνωστό στη δύση από τον Φρανσουά Βιέτ, ο οποίος, όπως φαίνεται, το επινοήθηκε.
Στις αρχές του 19ου αιώνα το θεώρημα ερμηνεύτηκε σύμφωνα με τη σύγχρονη άλγεβρα και έγινε γνωστό με τη σημερινή του ονομασία: νόμος των συνημιτόνων.

Το θεώρημα και οι εφαρμογές του

Πρότυπο:Multiple image Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μία ειδική περίπτωση του νόμου των συνημιτόνων

Η γωνία $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ έχει συνημίτονο ίσο με μηδέν ($\cos \mathrm{\Gamma }=0$) αν και μόνο αν ${\gamma }^2={\alpha }^2+{\beta }^2$.

Το θεώρημα χρησιμοποιείται στον τριγωνισμό (Σχήμα 3) για να "λύσει ένα τρίγωνο", δηλαδή να προσδιορίσει

• μια πλευρά ενός τριγώνου γνωρίζοντας την απέναντί της γωνία και τις παρακείμενες πλευρές:

$\gamma =\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2-2\alpha \beta \cos \mathrm{\Gamma }}$,

• μια γωνία ενός τριγώνου γνωρίζοντας τις τρεις πλευρές του:

$\hat{\mathrm{\Gamma }}=\arccos \left(\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2}{2\alpha \beta }\right)$.

Αυτοί οι τύποι είναι αριθμητικά ασταθείς σε περίπτωση που το $\gamma$ είναι μικρότερο του $\beta$ και του $\alpha$, ή ισοδύναμα όταν $\gamma$ είναι μικρότερο του 1.

Στην περίπτωση των ομοίων τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και ${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ ισχύει το εξής:

$\gamma {\gamma }^{\prime }=\alpha {\alpha }^{\prime }+\beta {\beta }^{\prime }-(\alpha {\beta }^{\prime }+{\alpha }^{\prime }\beta )\cos \mathrm{\Gamma }$.

Αποδείξεις

Ακριβώς όπως το Πυθαγόρειο θεώρημα, το θεώρημα αυτό έχει πολλές αποδείξεις, χρησιμοποιώντας κάποιες ιδιότητες του Ευκλείδη ή του Άλ-Κασί, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ιδιότητες ή ιδιότητες που σχετίζονται με τον κύκλο. Τέλος, το θεώρημα μπορεί να θεωρηθεί εφαρμογή των ιδιοτήτων του εσωτερικού γινομένου. Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη

Γενίκευση σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες

Για μια μη Ευκλείδεια επιφάνεια, καμπυλότητας Κ και ακτίνα καμπυλότητας R, ισχύει:

$R=1/\sqrt{|K|}$.

Ορίζουμε τις μειωμένες διαστάσεις του τριγώνου:

$a=BC/R$,

$b=AC/R$,

$c=AB/R$.

Στην περίπτωση σφαιρικού τριγώνου, a, b και c αντιστοιχούν στη γωνιακή μέτρηση μεγάλων τμημάτων τόξου [BC], [CA] και [ΑΒ] (σχήμα 7)

Σφαιρική γεωμετρία

Σχήμα 9: οι μειωμένες διαστάσεις τριγώνου και οι γωνίες α,β και γ

Σε ένα σφαιρικό τρίγωνο ο νόμος των συνημιτόνων ερμηνεύεται ως εξής:

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma$.

Όταν η ακτίνα καμπυλότητας είναι μεγάλη σε σύγκριση με τις διαστάσεις του τριγώνου, δηλαδή όταν

$a\ll 1,b\ll 1,c\ll 1$,

αυτή η έκφραση απλοποιείται για να δώσει την Ευκλείδεια εκδοχή. Για να το δείξουμε χρησιμοποιούμε:

$\sin a=a+O(a^3),$

$\cos a=1-a^2/2+O(a^3).$

Υπάρχει μια παρόμοια ταυτότητα που συνδέει και τις τρεις γωνίες:

$\cos \gamma =-\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \cos c$

Υπερβολική γεωμετρία

Σε ένα υπερβολικό τρίγωνο:

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos \gamma$.

Όταν η ακτίνα της καμπυλότητας γίνεται πολύ μεγάλη σε σύγκριση με το μέγεθος του τριγώνου:

$\sinh a=a+O(a^3)$,

$\cosh a=1+a^2/2+O(a^3)$.

Γενίκευση σε Ευκλείδειους Χώρους

Σχήμα 10: Τετράεδρο: επιφάνειες και δίεδρες γωνίες

Θεωρώ ένα τετράεδρο A₁A₂A₃A₄ σε έναν Ευκλείδειο χώρο. Το σχήμα 10 δείχνει τις κορυφές, επιφάνειες και γωνίες στο τετράεδρο:

• ${\mathrm{S}}_k$ η επιφάνεια απέναντι από την κορυφή ${\mathrm{A}}_k$;
• $s_k$ η επιφάνεια του ${\mathrm{S}}_k$;
• ${\mathrm{\Delta }}_k$ το επίπεδο στο οποίο το ${\mathrm{S}}_k$ εντάσσεται ;
• ${\theta }_{ij}$ η δίεδρη γωνία $({\mathrm{\Delta }}_i,{\mathrm{\Delta }}_j)$.

Έτσι επιφάνειες και γωνίες επιβεβαιώνουν :

$s_4^2=s_1^2+s_2^2+s_3^2-2s_1{s}_2\cos {\theta }_{12}-2s_1{s}_3\cos {\theta }_{13}-2s_2{s}_3\cos {\theta }_{23}.$

Δείτε επίσης

• Τριγωνομετρία
• Νόμος των ημιτόνων
• Νόμος των εφαπτομένων