Κατανομή Μπερνούλλι

Αρχείο:Bernoulli distribution examples.svg

Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Μπερνούλλι για $p=0.2,0.5,0.7$.

Κατανομή Μπερνούλλι

Συμβολισμός	$𝖡𝖾𝗋(p)$
Παράμετροι	$p\in [0,1]$
Φορέας	$x\in \{0,1\}$
Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας	$\{\begin{array}{cc}1-p& \text{αν }x=0\\ p& \text{αν }x=1\end{array}$
Μέσος	$p$
Διάμεσος	$\{\begin{array}{cc}0& \text{αν }p<1/2,\\ [0,1]& \text{αν }p=1/2,\\ 1& \text{αν }p>1/2.\end{array}$
Διακύμανση	$p\cdot (1-p)$
Λοξότητα	$\frac{1-2p}{\sqrt{p\cdot (1-p)}}$
Κύρτωση	$\frac{1}{p\cdot (1-p)}-3$
Εντροπία	$-p\cdot {\log }_{2}p-(1-p)\cdot {\log }_2(1-p)$
Ροπή	$\mathrm{E}[X^k]=p$
Ροπογεννήτρια	$p\cdot t+q$
Χαρακτηριστική	$p\cdot e^t+q$

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας $p$.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X$ που παίρνει τιμές $0$ ή $1$, δηλαδή $X\in \{0,1\}$. Για $X=1$ έχουμε επιτυχία και για $X=0$ αποτυχία. Λέμε ότι η $X$ ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι $𝖡𝖾𝗋(p)$ για $p\in [0,1]$ αν:Πρότυπο:Rp

$\mathrm{P}(X=1)=p$ και

$\mathrm{P}(X=0)=q=1-p$.

Το κλασσικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με $p=1/2$ είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος, όπου $X=1$ αντιστοιχεί σε κορώνα και $X=0$ σε γράμματα.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής με $n=1$.

Αναμενόμενη τιμή

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

$\mathrm{E}[X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.$

Διακύμανση

Από τον ορισμό της διακύμανσης, έχουμε ότι

$\begin{array}{cc}\mathrm{V}[X]=\mathrm{E}[(X-\mathrm{E}[X]{)}^2]& =p\cdot (1-p{)}^2+(1-p)\cdot p^2\\ & =p\cdot (1-p)\cdot ((1-p)+p)\\ & =p\cdot (1-p).\end{array}$

Λοξότητα

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

${\gamma }_1=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sigma }\right)}^3\right].$

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

$\begin{array}{cc}{\gamma }_1& =p\cdot {\left(\frac{1-p}{\sigma }\right)}^3+(1-p)\cdot {\left(\frac{0-p}{\sigma }\right)}^3\\ & =p\cdot {\left(\frac{1-p}{\sqrt{p\cdot (1-p)}}\right)}^3-(1-p)\cdot {\left(\frac{0-p}{\sqrt{p\cdot (1-p)}}\right)}^3\\ & =\frac{(1-p{)}^{3/2}}{p^{1/2}}-\frac{p^{3/2}}{(1-p{)}^{1/2}}\\ & =\frac{1-2p}{\sqrt{p\cdot (1-p)}},\end{array}$

χρησιμοποιώντας ότι $\sigma =\sqrt{p\cdot (1-p)}$.

Κύρτωση

Από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mathrm{E}[X]}{\sigma }\right)}^4\right]& =p\cdot {\left(\frac{1-p}{\sigma }\right)}^4+(1-p)\cdot {\left(\frac{0-p}{\sigma }\right)}^4\\ & =p\cdot {\left(\frac{1-p}{\sqrt{p\cdot (1-p)}}\right)}^4+(1-p)\cdot {\left(\frac{0-p}{\sqrt{p\cdot (1-p)}}\right)}^4\\ & =\frac{(1-p{)}^2}{p}+\frac{p^2}{1-p}\\ & =\frac{(1-p{)}^3+p^3}{p\cdot (1-p)}\\ & =\frac{1-3p\cdot (1-p)}{p\cdot (1-p)}\\ & =\frac{1}{p\cdot (1-p)}-3.\end{array}$

Ροπές

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε $k\in \mathbb{N}$:

$\mathrm{E}[X^k]=p\cdot 1^k+(1-p)\cdot 0^k=p.$

Εντροπία

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

$\mathrm{E}[-{\log }_{2}X]=-p\cdot {\log }_{2}p-(1-p){\log }_2(1-p).$

Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, δηλαδή όταν $p=1/2$.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

$G_X(t)=\mathrm{E}[t^X]=p\cdot t^1+(1-p)\cdot t^0=p\cdot t+q.$

Χαρακτηριστική συνάρτηση

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

$\mathrm{E}[e^{tX}]=p\cdot e^t+(1-p)\cdot e^0=p\cdot e^t+q.$

Δείτε επίσης

• Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
• Διωνυμική κατανομή