2-διάνυσμα

Στα μαθηματικά, δυοδιάνυσμα ή 2-διάνυσμα (bivector) είναι μια ποσότητα στην εξωτερική άλγεβρα ή στην γεωμετρική άλγεβρα η οποία επεκτείνει την ιδέα των βαθμωτών και των διανυσμάτων. Αν ένα κλιμακωτό θεωρείται ποσότητα μηδενικής τάξης και ένα διάνυσμα ποσότητα πρώτης τάξης, τότε ένα 2-διάνυσμα μπορεί να θεωρηθεί σαν να είναι δεύτερης τάξης. Τα 2-διανύσματα έχουν εφαρμογές σε πολλούς τομείς των μαθηματικών και της φυσικής. Συσχετίζονται με μιγαδικούς αριθμούς σε δυο διαστάσεις και ψευδοδιανύσματα και τετραδόνια σε τρεις διαστάσεις. Μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να παράγουν περιστροφές σε κάθε διάσταση, και είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για την ταξινόμηση κάθε περιστροφής. Χρησιμοποιούνται επίσης στη φυσική, δένοντας έναν αριθμό από διαφορετικές (άσχετες) ποσότητες.

Τα 2-διανύσματα δημιουργούνται από το εξωτερικό γινόμενο σε διανύσματα: δίνονται δύο διανύσματα α και β, το εξωτερικό τους προϊόν α ∧ β είναι ένα bivector. Δεν μπορούν όλα τα 2-διανύσματα να παραχθούν ως μοναδικό εξωτερικό γινόμενο. Πιο συγκεκριμένα, ένα bivector που μπορεί να εκφραστεί ως ένα εξωτερικό γινόμενο ονομάζεται απλό: σε τρεις διαστάσεις όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά, αλλά σε περισσότερες διαστάσεις αυτό δεν συμβαίνει. Το εξωτερικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό , έτσι το α ∧ β είναι η άρνηση του 2-διανύσματος β ∧ α, που παράγει τον αντίθετο προσανατολισμό. Το α ∧ α είναι το μηδενικό 2-διάνυσμα.

Παράλληλα ευθύγραμμα τμήματα με τον ίδιο προσανατολισμό και περιοχή που αντιστοιχούν στο ίδιο 2-διάνυσμα α ∧ β .

Γεωμετρικά, ένα απλό 2-διάνυσμα μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα προσανατολισμένο επίπεδο τμήμα, όπως τα διανύσματα μπορούν να θεωρηθούν ως κατευθυνόμενα ευθύγραμμα τμήματα. Το 2-διάνυσμα α ∧ β έχει μέγεθος ίσο με το εμβαδόν του παραλληλόγραμμου με τα άκρα Α και Β, έχει τη στάση του επιπέδου που εκτείνεται από α και β, και έχει προσανατολισμό τέτοιο ώστε με τη περιστροφή να ευθυγραμμιστούν το α με το β.

Ιστορία

Το 2-διάνυσμα ορίστηκε πρώτα το 1844 από τo Γερμανό μαθηματικό Hermann Grassmann στην εξωτερική άλγεβρα ως αποτέλεσμα του εξωτερικού γινομένου των δύο διανυσμάτων. Περίπου την ίδια περίοδο, το 1843, στην Ιρλανδία, ο Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον ανακάλυψε το τετραδόνιο. Όταν ο Άγγλος μαθηματικός William Kingdon Clifford το 1888 πρόσθεσε το γεωμετρικό γινόμενο από την άλγεβρα του Grassmann, ενσωματώνοντας τις ιδέες των Χάμιλτον και Grassmann, και εφηύρε την άλγεβρα του Clifford , η έννοια του bivector, όπως είναι γνωστό σήμερα, έγινε πλήρως κατανοητή.

Εκείνο τον καιρό, οι Josiah Willard Gibbs και Oliver Heaviside ανέπτυξαν τον διανυσματικό λογισμό , που περιελάμβανε ξεχωριστό εξωτερικό γινόμενο και εσωτερικό γινόμενο που προέρχονται από τετραδικό πολλαπλασιασμό. Η επιτυχία του διανυσματικού λογισμού, και του βιβλίου διανυσματικής ανάλυσης από Gibbs και Wilson, είχε ως αποτέλεσμα να παραμεληθούν οι ιδέες των Χάμιλτον και Clifford για μεγάλο χρονικό διάστημα, δεδομένου ότι για μεγάλο μέρος του 20ού αιώνα τα μαθηματικά και η φυσική διατυπώνονταν σε διανυσματικούς όρους. Ο Gibbs αντίθετα περιγράφει τα bivectors ως φορείς και χρησιμοποιεί τον όρο "2-διάνυσμα" για να περιγράψει μια άσχετη ποσότητα, μια χρήση που μερικές φορές έχει αντιγραφεί.

Σήμερα το 2-διάνυσμα μελετάται σε μεγάλο βαθμό ως θέμα στην γεωμετρική άλγεβρα, μια άλγεβρα Clifford πάνω στους πραγματικούς ή σύνθετους διανυσματικούς χώρους με μια μη εκφυλισμένη τετραγωνική μορφή. Η αναβίωσή του οδηγήθηκε από τον David Hestenes ο οποίος, μαζί με άλλους, έβαλε τη γεωμετρική άλγεβρα σε μια σειρά από νέες εφαρμογές στη φυσική.

Επίσημος ορισμός

Για αυτό το άρθρο, τα 2-διανύσματα θα ληφθούν υπόψη μόνο στην πραγματική γεωμετρική άλγεβρα. Αυτό στην πράξη δεν είναι περιοριστικό, καθώς όλες οι χρήσιμες εφαρμογές κληροδοτούνται από την άλγεβρα. Επίσης, εκτός αν ορίζεται διαφορετικά, όλα τα παραδείγματα έχουν μια Ευκλείδεια μετρική και έτσι μια θετική-οριστική τετραγωνική μορφή.

Γεωμετρική άλγεβρα και γεωμετρικό γινόμενο

Το 2-διάνυσμα προκύπτει από τον ορισμό του γινομένου γεωμετρικά πάνω από ένα διανυσματικό χώρο. Για διανύσματα α, β και γ, το γεωμετρικό γινόμενο διανυσμάτων ορίζεται ως εξής:

Προσεταιριστική ιδιότητα

$(𝐚𝐛)𝐜=𝐚(𝐛𝐜)$

αριστερή και δεξιά επιμεριστική ιδιότητα

$𝐚(𝐛+𝐜)=𝐚𝐛+𝐚𝐜$

$(𝐛+𝐜)𝐚=𝐛𝐚+𝐜𝐚$

Συστολή

${𝐚}^2=Q(𝐚)={ϵ}_{𝐚}{\left|𝐚\right|}^2$

Όπου Q είναι η τετραγωνική μορφή, |a| είναι το μέγεθος του ένα και ϵ_a είναι η υπογραφή του φορέα. Για ένα διάστημα με την Ευκλείδια μετρική ϵ_a να είναι 1 έτσι ώστε να μπορεί να παραλειφθεί, η κατάσταση συστολή γίνεται

${𝐚}^2={\left|𝐚\right|}^2$

Εσωτερικό γινόμενο

Από προσεταιριστική ιδιότητα Πρότυπο:Nowrap βαθμωτές φορές του b. Όταν b δεν είναι παράλληλο σε αυτό και ως εκ τούτου όχι ένα βαθμωτό πολλαπλασιασμό από a,ab δεν μπορεί να είναι ένα βαθμωτό.Αλλά

$\frac{1}{2}(𝐚𝐛+𝐛𝐚)=\frac{1}{2}((𝐚+𝐛{)}^2-{𝐚}^2-{𝐛}^2)$

είναι ένα άθροισμα των βαθμωτών και έτσι ένα βαθμωτό μέγεθος. Από το νόμο των συνημιτόνων για το τρίγωνο που σχηματίζεται από τα διανύσματα η τιμή του είναι|a||b|cosθ,όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων . Ως εκ τούτου είναι πανομοιότυπο με το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο φορέων, και γράφεται με τον ίδιο τρόπο

$𝐚\cdot 𝐛=\frac{1}{2}(𝐚𝐛+𝐛𝐚).$

Είναι συμμετρική, η συνάρτηση διανυσμάτων υπολογίζεται, και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει τη γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων: ιδίως εάν a μια και b είναι ορθογώνια το προϊόν είναι μηδέν.

Το εξωτερικό γινόμενο

Με τον ίδιο τρόπο μια άλλη ποσότητα μπορεί να γραφτεί:

$\frac{1}{2}(𝐚𝐛-𝐛𝐚)$

Αυτό λέγεται εξωτερικό γινόμενο, a ∧ b .Είναι αντισυμμετρικό στο a και b,αυτό είναι

$𝐚\wedge 𝐛=\frac{1}{2}(𝐚𝐛-𝐛𝐚)=-𝐛\wedge 𝐚$

Επιπλέον:

$𝐚\cdot 𝐛+𝐚\wedge 𝐛=\frac{1}{2}(𝐚𝐛+𝐛𝐚)+\frac{1}{2}(𝐚𝐛-𝐛𝐚)=𝐚𝐛$

Αυτό είναι το γεωμετρικό προϊόν, είναι το άθροισμα του συμμετρικού εσωτερικού γινομένου και του αντισυμμετρικού εξωτερικού γινομένου. Για να υπολογιστεί το a ∧ b μελετήστε το άθροισμα

$(𝐚\cdot 𝐛{)}^2-(𝐚\wedge 𝐛{)}^2$

Επεκτείνοντας, χρησιμοποιώντας το γεωμετρικό γινόμενο και απλουστεύοντας έχουμε:

$(𝐚\cdot 𝐛{)}^2-(𝐚\wedge 𝐛{)}^2={𝐚}^2{𝐛}^2$

επομένως χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα :

$(𝐚\wedge 𝐛{)}^2=(𝐚\cdot 𝐛{)}^2-{𝐚}^2{𝐛}^2={\left|𝐚\right|}^2{\left|𝐛\right|}^2({\cos }^2\theta -1)=-{\left|𝐚\right|}^2{\left|𝐛\right|}^2{\sin }^2\theta$

Με ένα αρνητικό τετράγωνο δεν μπορεί να είναι μια βαθμωτή ή διανυσματική ποσότητα, έτσι είναι ένα νέο είδος αντικειμένου, ένα δυοδιάνυσμα. Έχει μέγεθος |a||b|sinθ, όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των φορέων, και έτσι είναι μηδέν για παράλληλα διανύσματα. Για να τα διακρίνουμε από τα διανύσματα, τα δυοδιανύσματα γράφονται εδώ με έντονα κεφαλαία, για παράδειγμα:

$𝐀=𝐚\wedge 𝐛=-𝐛\wedge 𝐚,$

αν και άλλες συμβάσεις χρησιμοποιούνται, ειδικότερα φορείς και bivectors είναι δύο στοιχεία της γεωμετρικής άλγεβρας.

Ιδιότητες

Το διαστημα Λ²ℝⁿ

Η άλγεβρα που δημιουργήθηκε από το γεωμετρικό γινόμενο, είναι η γεωμετρική άλγεβρα μέσα στο διανυσματικό χώρο. Για έναν Ευκλείδιο διανυσματικό χώρο συμβολίζεται με ${𝒢}_n$ ή Cℓ_n(ℝ), όπου n είναι η διάσταση του διανυσματικού χώρου ℝⁿ.Cℓ_n είναι ένας διανυσματικός χώρος και μια άλγεβρα, που παράγεται από όλα τα γινόμενα μεταξύ των φορέων στο ℝⁿ, ώστε να περιέχει όλα τα διανύσματα και τα δυοδιανύσματα. Πιο συγκεκριμένα, ως διανυσματικός χώρος περιέχει τα διανύσματα και τα δυοδιανύσματα ως γραμμικούς υποχώρους , ομως οχι ως υποάλγεβρα. Ο χώρος από όλα τα δυοδιανύσματα συμβολίζεται με Λ²ℝⁿ.

Η υποάλγεβρα

Η υποάλγεβρα που παράγεται από τα 2-διανύσματα είναι η υποάλγεβρα της γεωμετρικής άλγεβρας, και συμβολίζεται με Cℓ_n⁺.Τα αποτελέσματα της άλγεβρας θεωρώντας όλα τα βαθμωτά και τα δυοδιανύσματα προϊόντα που παράχθηκαν από το γεωμετρικό γινόμενο.Αυτό έχει διάσταση 2n − 1, και περιέχει Λ²ℝⁿ ως ένα γραμμικό υπόχωρο με διάσταση Πρότυπο:Sfracn(n − 1) (ένας τριγωνικός αριθμός). Σε δύο και τρεις διαστάσεις η υποάλγεβρα περιέχει μόνο βαθμωτά και δυοδιανύσματα, και κάθε ένα είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον. Σε δύο διαστάσεις η υποάλγεβρα είναι ισομορφική προς τους μιγαδικούς αριθμούς, ℂ, ενώ σε τρεις είναι ισομορφική προς τα τετραδόνια, ℍ. Γενικότερα η υποάλγεβρα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή των εναλλαγών σε οποιαδήποτε διάσταση, και μπορεί να παραχθεί από τα δυοδιανύσματα στην άλγεβρα.

Σημασία

Όπως παρατηρήθηκε σε προηγούμενη ενότητα, η σημασία/μέγεθος ενός απλού 2-διανύσματος,το οποίο είναι το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b,είναι |a||b|sin θ, όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων.Συμβολίζεται με |B|, οπου B είναι το δυοδιάνυσμα.Για τα γενικά δυοδιανύσματα το μέγεθος μπορεί να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψην τον κανόνα των δυοδιανυσμάτων θεωρούμενος ως ένα διάνυσμα στο διάστημα Λ²ℝⁿ .Αν το μέγεθος είναι μηδέν, τότε όλες οι συνιστώσες των δυοδιανυσμάτων είναι μηδέν και το δυοδιάνυσμα είναι το μηδενικό δυοδιάνυσμα το οποίο ως στοιχείο της γεωμετρικής άλγεβρας ισούται με το βαθμωτό μηδέν.

Μονάδα 2-διανύσματος

Μια μονάδα 2-διανύσματος είναι το ίδιο με μια μονάδα μεγέθους. Μπορεί να παραχθεί από οποιαδήποτε ένα μη μηδενικό 2-διάνυσμα διαιρώντας το 2-διάνυσμα με το μέγεθός του, δηλαδή :
$\frac{𝐁}{\left|𝐁\right|}.$
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι μονάδες των 2-διανυσμάτων που σχηματίζονται από τα γινόμενα των προτύπων βάσης. Αν ei και ej είναι ξεχωριστή βάση διανυσμάτων τότε το γινόμενο ei ∧ ej είναι ένα 2-διάνυσμα. Όπως τα διανύσματα είναι ορθογώνια αυτό είναι μόνο eiej, γραμμένο eij, με μονάδα μεγέθους όπως τα διανύσματα είναι μοναδιαία διανύσματα. Το σύνολο όλων αυτών των 2-διανυσμάτων αποτελεί τη βάση για Λ²ℝⁿ. Για παράδειγμα σε τέσσερις διαστάσεις είναι η βάση για Λ²ℝ⁴ (e1e2, e1e3, e1e4, e2e3, e2e4, e3e4) ή
(e12, e13, e14, e23, e24, e34)

Απλό 2-διάνυσμα

Το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων είναι ένα 2-διάνυσμα, αλλά δεν είναι όλα 2-διανύσματα είναι εξωτερικά τα γινόμενα των δύο διανυσμάτων. Για παράδειγμα, σε τέσσερις διαστάσεις το bivector
 : $𝐁={𝐞}_1\wedge {𝐞}_2+{𝐞}_3\wedge {𝐞}_4={𝐞}_1{𝐞}_2+{𝐞}_3{𝐞}_4={𝐞}_{12}+{𝐞}_{34}$ δεν μπορεί να γραφτεί ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων. Ένα 2-διάνυσμα που μπορεί να γραφτεί ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο διανυσμάτων είναι απλό. Σε δύο και τρεις διαστάσεις όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά, αλλά όχι σε τέσσερις ή περισσότερες διαστάσεις: σε τέσσερις διαστάσεις κάθε 2-διάνυσμα είναι το άθροισμα των το πολύ δύο εξωτερικών γινομένων. Ένα 2-διάνυσμα έχει μια πραγματικό τετράγωνο, αν και μόνο αν είναι απλό, και μόνο απλό 2-διανύσματα μπορεί να αντιπροσωπευθεί γεωμετρικά από μια περιοχή προσανατολισμένη επίπεδη περιοχή.

Γινόμενο δύο 2-διανυσμάτων

Το γεωμετρικό γινόμενο δύο 2-διανυσμάτων, Α και Β, είναι

$𝐀𝐁=𝐀\cdot 𝐁+𝐀\times 𝐁+𝐀\wedge 𝐁.$

Η ποσότητα Πρότυπο:Nowrap είναι το εσωτερικό γινόμενο, ενώ Πρότυπο:Nowrap είναι βαθμού 4 εξωτερικού γινομένου που φτάνει τις τέσσερις ή και παραπάνω διαστάσεις. Η ποσότητα Πρότυπο:Nowrap είναι το 2-διάνυσμα υπολογίσμένο ως αντιμεταθετικό γινόμενο, που δίνεται από

$𝐀\times 𝐁=\frac{1}{2}(𝐀𝐁-𝐁𝐀),$

Το διάστημα των δυοδιανυσμάτων είναι η άλγεβρα Lie μέσα στο ℝ, με το αντιμεταθετικό γινόμενο όπως η Lie παρένθεση. Το ολοκληρωμένο γεωμετρικό γινόμενο των δυοδιανυσμάτων παράγει ακόμα την υποάλγεβρα. Από συγκεκριμένης απόψεως είναι το γινόμενο ενός δυοδιανύσματος από μόνο του. Επειδή το αντιμεταθετικό γινόμενο είναι αντισυμμετρικό το γινόμενο απλοποιείται σε

$𝐀𝐀=𝐀\cdot 𝐀+𝐀\wedge 𝐀.$

Αν το δυοδιάνυσμα είναι απλό ο τελευταίος όρος είναι μηδέν και το γινόμενο γίνεται Πρότυπο:Nowrap, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως επαλήθευση για την απλότητα. Συγκεκριμένα το εξωτερικό γινόμενο των δυοδιανυσμάτων υπάρχει μόνο σε τέσσερις ή παραπάνω διαστάσεις, έτσι όλα τα δυοδιανύσματα που έχουν δύο και τρεις διαστάσεις είναι απλά.

Δύο διαστάσεις

'Οταν δουλεύουμε με συντεταγμένες στη γεωμετρική άλγεβρα είναι σύνηθες να γράφουμε τη βάση διανυσμάτων ως (e₁, e₂, ...), μία σύμβαση που θα χρησιμοποιηθεί εδω.

Ένα διάνυσμα σε πραγματικό, δύο διαστάσεων χώρο μπορεί να γραφει Πρότυπο:Nowrap, όπου a₁ και a₂ είναι πραγματικοί αριθμοί, e₁ και e₂ είναι διανύσματα ορθοκανονικής βάσης. Το γεωμετρικό γινόμενο δύο τέτοιων διανυσμάτων είναι

$\begin{array}{cc}𝐚𝐛& =(a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2)(b_1{𝐞}_1+b_2{𝐞}_2)\\ & =a_1{b}_1{𝐞}_1{𝐞}_1+a_1{b}_2{𝐞}_1{𝐞}_2+a_2{b}_1{𝐞}_2{𝐞}_1+a_2{b}_2{𝐞}_2{𝐞}_2\\ & =a_1{b}_1+a_2{b}_2+(a_1{b}_2-a_2{b}_1){𝐞}_1{𝐞}_2.\end{array}$

Αυτό μπορεί να σπάσει στο συμμετρικό, βαθμωτό, εσωτερικό γινόμενο και ένα αντισυμμετρικό, εξωτερικό γινόμενων δυοδιανυσμάτων:

$\begin{array}{cc}𝐚\cdot 𝐛& =a_1{b}_1+a_2{b}_2,\\ 𝐚\wedge 𝐛& =(a_1{b}_2-a_2{b}_1){𝐞}_1{𝐞}_2=(a_1{b}_2-a_2{b}_1){𝐞}_{12}.\end{array}$

Όλα τα δυοδιανύσματα δύο διαστάσεων είναι αυτής της μορφής, το πολλαπλάσιο του δυοδιανύσματος e₁e₂, γράφεται e₁₂ για να τονιστεί οτί είναι δυοδιάνυσμα και όχι διάνυσμα. Το μέτρο του e₁₂ είναι 1, με

${𝐞}_{12}^2=-1,$

έτσι ονομάζεται μοναδιαίο δυοδιάνυσμα. Ο όρος μοναδιαίο δυοδιάνυσμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σε άλλες διαστάσεις αλλά είναι μοναδικά ορισμένο (μέχρι ένα σημείο) σε δύο διαστάσεις και όλα τα δυοδιανύσματα είναι πολλαπλάσια του e₁₂. Ως μεγαλύτερος βαθμός στοιχείου του αλγεβρικού e₁₂ είναι επίσης το ψευδοβαθμωτό το οποίο δίνεται με το σύμβολο i.

Μιγαδικοί αριθμοί

Με τις ιδιότητες του αρνητικού τετραγώνου και του μοναδιαίου μέτρο, το μοναδιαίο διάνυσμα μπορεί να οριστεί με τη φανταστική μονάδα για μιγαδικούς αριθμούς. Τα δυοδιανύσματα και τα βαθμωτά σχηματίζουν μαζί την υποάλγεβρα της γεωμετρικής άλγεβρας, η οποία είναι ισομορφική στους μιγαδικούς αριθμούς ℂ. Η υποάλγεβρα έχει βάση (1, e₁₂), ενώ όλη η άλγεβρα έχει βάση (1, e₁, e₂, e₁₂).

Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι συνήθως ταυτισμένοι με τους άξονες συντεταγμένων και διανύσματα δύο διαστάσεων, το οποίο συνεπάγεται το συσχετισμό τους με τα διανύσματα της γεωμετρικής άλγεβρας. Δεν υπάρχει αντίφαση στο εξής, για να πάμε από ένα γενικό διάνυσμα σε έναν μιγαδικό αριθμό χρειάζεται ένας άξονας για να ταυτιστεί με τον πραγματικό άξονα, έστω e₁. Αυτό πολλάπλασιάζεται με όλα τα διανύσματα για να παράγει τα στοιχεία της υποάλγεβρας.

Όλες οι ιδιότητες των μιγαδικών αριθμών μπορούν να παραχθούν από δυοδιανύσματα, αλλά δύο είναι συγκεκριμένου ενδιαφέροντος. Πρώτα, οι μιγαδικοί παραγόμενοι από δυοδιανύσματα είναι αντιμεταθετικοί ακόμα και στην υποάλγεβρα. Αυτό ισχύει μόνο στις δύο διαστάσεις, έτσι ιδιότητες του δυοδιανύσματος σε δύο διαστάσεις που στηρίζονται στην αντιμεταθετικότητα δεν ισχύουν συνήθως και σε μεγαλύτερες διαστάσεις.

Δεύτερον ένα γενικό δυοδιάνυσμα μπορεί να γραφεί

$\theta {𝐞}_{12}=i\theta ,$

όπου θ είναι πραγματικός αριθμός. Βάζοντάς αυτό στις σειρές Taylor για τον εκθετικό χάρτη και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα e₁₂² = −1 έχουμε ως αποτέλεσμα περίπτωση δυοδιανύσματος του τύπου του Euler (τύπος του Euler),

$e^{\theta {𝐞}_{12}}=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ,$

το οποίο όταν πολλαπλασιάζεται με οποιοδήποτε διάνυσμα το περιστρέφει γύρω από μία γωνία θ από την αρχική:

$(x^{\prime }{𝐞}_1+y^{\prime }{𝐞}_2)=(x{𝐞}_1+y{𝐞}_2)e^{i\theta }.$

Το γινόμενο ενός διανύσματος με ένα 2-διάνυσμα,στις δυο διαστάσεις,είναι αντι-αντιμεταθετικό, οπότε,όλα τα ακόλουθα γινόμενα παράγουν την ίδια περιστροφή

${𝐯}^{\prime }=𝐯e^{i\theta }=e^{-i\theta }𝐯=e^{\frac{-i\theta }{2}}𝐯e^{\frac{i\theta }{2}}.$

Από αυτά,το τελευταίο γινόμενο είναι αυτό που γενικεύεται σε μεγαλύτερες διαστάσεις.Η ποσότητα που χρειάζεται ονομάζεται ρότορας και δίνεται το σύμβολο R ,οπότε στις δυο διαστάσεις ένας ρότορας που περιστρέφεται γύρω από γωνία θ μπορεί να γραφεί

$R=e^{\frac{-i\theta }{2}}=e^{\frac{-\theta {𝐞}_{12}}{2}},$

και η περιστροφή που γενικεύει είναι

${𝐯}^{\prime }=R𝐯R^{-1}.$

Τρεις διαστάσεις

Στις τρεις διαστάσεις το γεωμετρικό γινόμενο από δυο διανύσματα είναι

$\begin{array}{cc}𝐚𝐛& =(a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2+a_3{𝐞}_3)(b_1{𝐞}_1+b_2{𝐞}_2+b_3{𝐞}_3)\\ & =a_1{b}_1{{𝐞}_1}^2+a_2{b}_2{{𝐞}_2}^2+a_3{b}_3{{𝐞}_3}^2+(a_2{b}_3-a_3{b}_2){𝐞}_2{𝐞}_3+(a_3{b}_1-a_1{b}_3){𝐞}_3{𝐞}_1+(a_1{b}_2-a_2{b}_1){𝐞}_1{𝐞}_2.\end{array}$

Αυτό μπορεί να διαχωριστεί στο συμμετρικό,βαθμωτό αξίας,εσωτερικό γινόμενο και στο αντισυμμετρικό,2- διανυσματικής αξίας,εξωτερικό γινόμενο:

$\begin{array}{cc}𝐚\cdot 𝐛& =a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\\ 𝐚\wedge 𝐛& =(a_2{b}_3-a_3{b}_2){𝐞}_{23}+(a_3{b}_1-a_1{b}_3){𝐞}_{31}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1){𝐞}_{12}.\end{array}$

Στις τρεις διαστάσεις,όλα τα 2-διανύσματα είναι απλά,όπως,και το αποτέλεσμα από ένα εξωτερικό γινόμενο.Τα μοναδιαία 2-διανύσματα e₂₃, e₃₁ και e₁₂ σχηματίζουν μία βάση του χώρου των 2-διανυσμάτων Λ²ℝ³, το οποίο από μόνος του είναι ένας τριδιάστατος γραμμικός χώρος.Επομένως,αν ένα γενικό 2-διάνυσμα είναι:

$𝐀=A_{23}{𝐞}_{23}+A_{31}{𝐞}_{31}+A_{12}{𝐞}_{12},$

μπορούν να προστεθούν σαν διανύσματα

$𝐀+𝐁=(A_{23}+B_{23}){𝐞}_{23}+(A_{31}+B_{31}){𝐞}_{31}+(A_{12}+B_{12}){𝐞}_{12}.$

ενώ,όταν πολλαπλασιαστούν παράγουν το ακόλουθο

$𝐀𝐁=-A_{23}{B}_{23}-A_{31}{B}_{31}-A_{12}{B}_{12}+(A_{12}{B}_{31}-A_{31}{B}_{12}){𝐞}_{23}+(A_{23}{B}_{12}-A_{12}{B}_{23}){𝐞}_{31}+(A_{31}{B}_{23}-A_{23}{B}_{31}){𝐞}_{12}$

το οποίο μπορεί να διαχωριστεί,σε συμμετρικά βαθμωτά και σε αντισυμμετρικά 2-διανυσματικά μέρη όπως ακολουθεί

$\begin{array}{cc}𝐀\cdot 𝐁& =-A_{12}{B}_{12}-A_{31}{B}_{31}-A_{23}{B}_{23}\\ 𝐀\times 𝐁& =(A_{23}{B}_{31}-A_{31}{B}_{23}){𝐞}_{12}+(A_{12}{B}_{23}-A_{23}{B}_{12}){𝐞}_{13}+(A_{31}{B}_{12}-A_{12}{B}_{31}){𝐞}_{23}.\end{array}$

Το εξωτερικό γινόμενο από δυο 2-διανύσματα στις τρεις διαστάσεις είναι μηδέν.

Ένα 2-διάνυσμα B μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο του μήκους του και ενός μοναδιαίου 2-διανύσματος, οπότε γράφοντας β αντί για |B| και χρησιμοποιώντας τις σειρές Taylor για τον εκθετικό χάρτη μπορεί να δειχθεί ότι

$e^{𝐁}=e^{\beta \frac{𝐁}{\beta }}=\cos \beta +\frac{𝐁}{\beta }\sin \beta .$

Αυτή είναι μία άλλη έκδοση του τύπου του Euler,αλλά με ένα γενικό 2-διάνυσμα στις τρεις διαστάσεις.Αντίθετα,στις δυο διαστάσεις τα 2-διανύσματα δεν είναι αντιμεταθετικά,οπότε οι ιδιότητες που εξαρτώνται από την αντιμεταθετικότητα δεν ανταποκρίνονται στις τρεις διαστάσεις.Για παράδειγμα,γενικά, Πρότυπο:Nowrap στις τρεις (ή περισσότερες) διαστάσεις.

Η πλήρης γεωμετρική άλγεβρα σε τρεις διαστάσεις, Cℓ₃(ℝ), έχει τη βάση (1, e₁, e₂, e₃, e₂₃, e₃₁, e₁₂, e₁₂₃).Το στοιχείο e₁₂₃ είναι ένα 3-διάνυσμα και το ψευδοβαθμωτό για τη γεωμετρία.Τα 2-διανύσματα στις τρεις διαστάσεις είναι μερικές φορές ταυτισμένα με ψευδοδιανύσματα με τα οποία σχετίζονται,όπως θα συζητηθεί παρακάτω.

Οι τετραδικοί αριθμοί

Τα 2-διανύσματα δεν είναι κλειστά ως προς το γεωμετρικό γινόμενο,αλλά η υποάλγεβρα είναι. Στις τρεις διαστάσεις,αποτελείται από όλα τα βαθμωτά και 2-διανυσματικά στοιχεία της γεωμετρικής άλγεβρας,οπότε ένα γενικό στοιχείο μπορεί να γραφεί,για παράδειγμα, a + A, όπου το a είναι το βαθμωτό μέρος και το A είναι το 2-διανυσματικό μέρος.Γράφεται C$l_3^{+}$ και έχει τη βάση (1, e₂₃, e₃₁, e₁₂). Το γινόμενο δυο γενικών στοιχείων της άρτιας υποάλγεβρας είναι

$(a+𝐀)(b+𝐁)=ab+a𝐁+b𝐀+𝐀\cdot 𝐁+𝐀\times 𝐁.$

Η άρτια υποάλγεβρα, η οποία άλγεβρα αποτελείται από βαθμωτά και 2-διανύσματα, είναι ισομορφική στα τετραδόνια, ℍ. Αυτό μπορεί να φανεί,συγκρίνοντας τη βάση με την τετραδική βάση, ή από το παραπάνω γινόμενο το οποίο είναι ταυτισμένο με το τετραδικό γινόμενο, εκτός από μία αλλαγή στο πρόσημο που σχετίζεται με τα αρνητικά γινόμενα στο 2-διανυσματικό εσωτερικό γινόμενο Πρότυπο:Nowrap.Άλλες ιδιότητες στους τετραδικούς μπορούν παρόμοια να σχετίζονται ή να προέρχονται από τη γεωμετρική άλγεβρα.

Αυτό συνιστά ότι ο συνήθης διαχωρισμός μίας τετράδας σε βαθμωτά και διανυσματικά μέρη,θα μπορούσε να αναπαραστεί όπως ο διαχωρισμός σε βαθμωτά και 2-διανυσματικά μέρη: Εάν αυτό γίνει,το τετραδικό γινόμενο είναι απλώς το γεωμετρικό γινόμενο. Επίσης,σχετίζει τους τετραδικούς στις τρεις διαστάσεις με τους μιγαδικούς αριθμούς στις δυο, αφού το καθένα είναι ισομορφικό στην άρτια υποάλγεβρα όσον αφορά στη διάσταση, μία σχέση που γενικεύεται και στις μεγαλύτερες διαστάσεις.

Διάνυσμα Περιστροφής

Η διανυσματική περιστροφή,από την αναπαράσταση της αξονικής γωνίας των περιστροφών, είναι ένας συμπαγής τρόπος αναπαράστασης περιστροφών στις τρεις διαστάσεις. Στην πιο συμπαγή μορφή του,αποτελείται από ένα διάνυσμα, το γινόμενο του ενός μοναδιαίου φορέα που είναι ο άξονας περιστροφής και της γωνίας περιστροφής, έτσι ώστε το μέγεθος του διανύσματος να είναι η γωνία περιστροφής.

Στη γεωμετρική άλγεβρα,αυτό το διάνυσμα έχει ταξινομηθεί ως ένα 2-διάνυσμα. Αυτό μπορεί να φανεί στη σχέση του με τους τετραδικούς αριθμούς. Εάν ο άξονας είναι ω και η γωνία περιστροφής είναι θ ,τότε,το διάνυσμα περιστροφής ωθ τετραδικός που σχετίζεται με την περιστροφή είναι

$q=(\cos \left(\frac{\theta }{2}\right),\omega \sin \left(\frac{\theta }{2}\right))$

αλλά αυτό είναι μόνο ο εκθέτης από το μισό του 2-διανύσματος Ωθ, που είναι

$e^{\frac{\mathrm{\Omega }\theta }{2}}=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)+\mathrm{\Omega }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)$

Επομένως,τα διανύσματα περιστροφής είναι 2-διανύσματα, όπως και οι τετραδικοί αριθμοί είναι στοιχεία της γεωμετρικής άλγεβρας, και σχετίζονται με τον εκθετικό χάρτη στην εν λόγω άλγεβρα.