Άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών

Τα κλασικά άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών παραδοσιακά ήταν τρία:

H εικασία του Γκόλντμπαχ: Κάθε άρτιος θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του $2$ μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών, έτσι ώστε για κάθε $n \geq 2$ , ισχύει ότι $2 n = p + q$ , όπου $p$ , $q$ πρώτοι αριθμοί.
Η Υπόθεση Ρίμαν: Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης μηδενικής ρίζας της συνάρτησης ζ του Ρήμαν είναι $1 / 2$ .
To τελευταίο θεώρημα του Φερμά: Δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι $x$ , $y$ , και $z$ τέτοιοι ώστε $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ , όπου $n$ θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του $2$ .

Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά αποδείχθηκε πρόσφατα από τους μαθηματικούς Άντριου Γουάιλς και Richard Taylor στο πανεπιστήμιο του Πρίνστον.

Άλλα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών είναι:

Υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθμός μεταξύ 2 διαδοχικών τέλειων τετραγώνων;
Η υπόθεση των διδύμων πρώτων αριθμών.
Η απειρία των τέλειων αριθμών.
Υπάρχει περιττός τέλειος αριθμός;
Περιέχει η ακολουθία Φιμπονάτσι άπειρους πρώτους αριθμούς;
Αν $x$ είναι πρώτος ο $2 x - 1$ δεν θα διαιρείται από το τετράγωνο ενός πρώτου.
Υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής $n^{2} + 1$ ;
Τα Αιγυπτιακά κλάσματα: προσδιορίστε αν κάθε κλάσμα της μορφής $\frac{4}{n}$ με $n > 1$ μπορεί να γραφεί ως το άθροισμα τριών θετικών ρητών αριθμών με αριθμητή 1, π.χ. $\frac{4}{n} = \frac{1}{i} + \frac{1}{j} + \frac{1}{k}$ .

Πηγές