Ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ, που προέρχεται από τον κατάλογο των 23 προβλημάτων Χίλμπερτ (1900). Ο κατάλογος αυτός είχε σημαντικό αντίκτυπο στην ανάπτυξη των μαθηματικών τον 20ό αιώνα. Εδώ αναζητούσε την ανακάλυψη γενικότερου νόμου της αμοιβαιότητας για τα υπόλοιπα τάξης k-th σε ένα γενικό αλγεβρικό σώμα αριθμών, όπου k είναι δύναμη ενός πρώτου αριθμού. Αυτό προϋποθέτει τη μελέτη των αριθμητικών ιδιοτήτων των αλγεβρικών αριθμών και την κατανόηση της συμπεριφοράς των υπολοίπων σε αυτό το διευρυμένο πλαίσιο.

Πρόοδος που σημειώθηκε

Το πρόβλημα λύθηκε εν μέρει από τον Εμίλ Άρτιν με την καθιέρωση του νόμου αμοιβαιότητας του Άρτιν, ο οποίος ασχολείται με αβελιανές επεκτάσεις αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων Πρότυπο:R.

Ο τετραγωνικός νόμος αμοιβαιότητας που αποδείχθηκε από τον Γκάους (διατυπωμένος με το σύμβολο του Λεζάντρ):

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$

δίνει κριτήρια για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στη Μοδιακή αριθμητική και έχει διαδραματίσει κεντρικό ρόλο στην αλγεβρική θεωρία αριθμών χάρη στις γενικεύσεις της. Τον 19ο αιώνα, διάφοροι ανώτεροι νόμοι αμοιβαιότητας ήταν ήδη γνωστοί, μεταξύ άλλων και από τον Χίλμπερτ στην έκθεση αριθμών του, με την εισαγωγή συμβόλων Χίλμπερτ στη διατύπωση. Ο Χίλμπερτ ζήτησε μια διατύπωση και μια απόδειξη για γενικά αλγεβρικά σώματα αριθμών. Με την ανάπτυξη της θεωρίας των κλάσεων σωμάτων, αρχής γενομένης από τον Τέιτζι Τακάγκι, τα απαραίτητα μέσα ήταν διαθέσιμα, έτσι ώστε ο Εμίλ Άρτιν μπόρεσε να λύσει το πρόβλημα στις αβελιανές επεκτάσεις των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων (νόμος αμοιβαιότητας του Άρτιν, 1924), και ο Χέλμουτ Χάσε απέδειξε επίσης τα θεωρήματα αμοιβαιότητας στη θεωρία των κλάσεων σωμάτων. Το 1948, ο Ιγκόρ Σαφάρεβιτς σημείωσε σημαντική πρόοδο στην εύρεση ρητών διατυπώσεων για αυτόν τον νόμο αμοιβαιότητας, και οι Χέλμουτ Μπρούκνερ, Σεργκέι Βλαντιμίροβιτς Βοστόκοφ και Γκυ Χένιαρ απλοποίησαν και επέκτειναν τα αποτελέσματά του. Δεν έχει επιτευχθεί ακόμη μια πιο εμπεριστατωμένη γενίκευση στη μη αβελιανή περίπτωση και αποτελεί ένα από τα κύρια προβλήματα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, που συνδέεται επίσης με το 12ο πρόβλημα του Χίλμπερτ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Πρότυπο:MathWorld
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός
• Θεωρία αριθμών
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Σώμα Αριθμών
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Μοδιακή αριθμητική
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

• Shreeram Shankar Abhyankar, "Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997. Πρότυπο:MR
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation

Πηγές

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite web
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book