Ανισότητα Ποποβίτσιου για τη Διακύμανση

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η ανισότητα Ποποβίτσιου (αναφέρεται και ως ανισότητα Popoviciu) αφορά μία οποιαδήποτε πραγματική τυχαία μεταβλητή $X$ η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα $[m,M]$, και λέει ότι η διακύμανσή της $\mathrm{Var}(X)$ φράζεται ως

$\mathrm{Var}(X)\le {\left(\frac{M-m}{2}\right)}^2$.

Απόδειξη

Έστω $\mu =\mathrm{E}(X)$ η αναμενόμενη τιμή της $X$. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή $X^{\prime }=X-\mu$ η οποία έχει $\mathrm{E}(X^{\prime })=0$ και $\mathrm{Var}(X^{\prime })=\mathrm{Var}(X)=\mathrm{E}((X^{\prime }{)}^2)$.

Επίσης, ισχύει ότι η $X^{\prime }$ είναι φραγμένη ως εξής $m^{\prime }=m-\mu \le X^{\prime }\le M-\mu =M^{\prime }$. Επομένως, $X^{\prime }-m^{\prime }\ge 0$ και $M-X^{\prime }\ge 0$ και συνεπώς

$0\le \mathrm{E}((M^{\prime }-X^{\prime })\cdot (X^{\prime }-m^{\prime }))$.

Επεκτείνοντας το δεξί μέλος, από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

$0\le -M^{\prime }{m}^{\prime }+\mathrm{E}(X^{\prime })\cdot (M^{\prime }-m^{\prime })-\mathrm{E}((X^{\prime }{)}^2)=-M^{\prime }{m}^{\prime }-\mathrm{E}((X^{\prime }{)}^2)$.

Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

Πρότυπο:NumBlk

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για δύο μεταβλητές $a,b$ δίνει ότι

$ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.

Για $a=M^{\prime }=M-\mu$ και $b=-m^{\prime }=-(m-\mu )$, λαμβάνουμε ότι

$-M^{\prime }{m}^{\prime }\le {\left(\frac{M-\mu -(m-\mu )}{2}\right)}^2={\left(\frac{M-m}{2}\right)}^2$.

Συνδυάζοντας με την (Πρότυπο:EquationNote), έχουμε την ζητούμενη ανισότητα

$\mathrm{Var}(X)\le {\left(\frac{M-m}{2}\right)}^2$.

Ισότητα

Η ανισότητα ισχύει για ισότητα όταν $\mathrm{Pr}(X=M)=\mathrm{Pr}(X=m)=1/2$. Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη

Παραλλαγές

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται στην εργασία του Τιβέριου Ποποβίτσιου το 1935.Πρότυπο:R Έκτοτε διάφορες παραλλαγές και γενικεύσεις έχουν παρουσιαστεί.

Η εργασία του Γκραςς δίνει την εξής γενίκευση για δύο τυχαίες μεταβλητές $X\in [m_1,M_1]$ και $Y\in [m_2,M_2]$,

$\mathrm{Cov}(X,Y)\le \frac{(M_1-m_1)\cdot (M_2-m_2)}{4}$

όπου $\mathrm{Cov}(X,Y)$ είναι η συνδιακύμανση των $X$ και $Y$. Για $X=Y$, λαμβάνουμε την ανισότητα Ποποβίτσιου.

Ο Μπάτια και ο Ντέιβις παρουσίασαν την εξής γενίκευση

$\mathrm{Var}(X)\le \mathrm{E}((X-m)\cdot (M-X))$,

η οποία προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.