Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου

Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου είναι η ανισότητα που λέει ότι για κάθε $n$ θετικούς πραγματικούς αριθμούς ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον αρμονικό μέσο.

Πιο συγκεκριμένα, για τους $n$ αριθμούς $x_1,\dots ,x_n$ ισχύει ότιΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$\frac{x_1+\dots +x_n}{n}\ge \sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}\ge \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$.

Για την ειδική περίπτωση που έχουμε $n=3$ αριθμούς $a,b,c$ η ανισότητα παίρνει την μορφή

$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\ge \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$.

Η ανισότητα αυτή είναι επέκταση της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και η απόδειξή της προκύπτει από αυτή.