Αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)

Στα μαθηματικά, ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος) (AGM ή agM^[1]) δύο θετικών πραγματικών αριθμών Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι το αμοιβαίο όριο μιας ακολουθίας αριθμητικών μέσων και μιας ακολουθίας γεωμετρικών μέσων. Ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος χρησιμοποιείται σε γρήγορους αλγορίθμους για εκθετικές, τριγωνομετρικές και άλλες ειδικές συναρτήσεις, καθώς και για ορισμένες μαθηματικές σταθερές, ιδίως για τον υπολογισμό του Πρότυπο:Mvar.

Ο AGM ορίζεται ως το όριο των αλληλοεξαρτώμενων ακολουθιών $a_{i}$ και $g_{i}$ : $\begin{matrix} a_{0} & = x, \\ g_{0} & = y \\ a_{n + 1} & = \frac{1}{2} (a_{n} + g_{n}), \\ g_{n + 1} & = \sqrt{a_{n} g_{n}} . \end{matrix}$

Αυτές οι δύο ακολουθίες συγκλίνουν στον ίδιο αριθμό, τον αριθμητικό-γεωμετρικό μέσο όρο των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math- συμβολίζεται με Πρότυπο:Math, ή μερικές φορές με Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math.

Ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος μπορεί να επεκταθεί σε μιγαδικούς αριθμούς και όταν οι κλάδοι της τετραγωνικής ρίζας μπορούν να ληφθούν ασυνεπώς, είναι γενικά μια συνάρτηση πολλαπλών τιμών ^[1].

Παράδειγμα

Για να βρεθεί ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος του

$\begin{matrix} a_{1} & = & \frac{1}{2} (24 + 6) & = & 15 \\ g_{1} & = & \sqrt{24 \cdot 6} & = & 12 \\ a_{2} & = & \frac{1}{2} (15 + 12) & = & 13.5 \\ g_{2} & = & \sqrt{15 \cdot 12} & = & 13.416 407 8649 \dots \\ ⋮ \end{matrix}$

Οι πρώτες πέντε επαναλήψεις δίνουν τις ακόλουθες τιμές:

Πρότυπο:Math	Πρότυπο:Math	Πρότυπο:Math
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 7 45 176 983 217 305...	13.458 171 481 7 06 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 8 20...	13.458 171 481 725 615 420 766 8 06...

Ο αριθμός των ψηφίων στα οποία το Πρότυπο:Math και το Πρότυπο:Math συμφωνούν (υπογραμμισμένο) περίπου διπλασιάζεται με κάθε επανάληψη. Ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος των 24 και 6 είναι το κοινό όριο αυτών των δύο ακολουθιών, το οποίο είναι περίπου Πρότυπο:Val.^[2]

Ιστορία

Ο πρώτος αλγόριθμος που βασίστηκε σε αυτό το ζεύγος ακολουθιών εμφανίστηκε στα έργα του Λαγκράνζ. Οι ιδιότητές του αναλύθηκαν περαιτέρω από τον Γκάους^[1].

Ιδιότητες

Ο γεωμετρικός μέσος δύο θετικών αριθμών δεν είναι ποτέ μεγαλύτερος από τον αριθμητικό μέσο^[3]. Επομένως, ο Πρότυπο:Math είναι μια αύξουσα ακολουθία, ο Πρότυπο:Math είναι μια φθίνουσα ακολουθία και ο Πρότυπο:Math. Αυτές είναι αυστηρές ανισότητες Πρότυπο:Math.

Πρότυπο:Math είναι επομένως ένας αριθμός μεταξύ του γεωμετρικού και του αριθμητικού μέσου των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math; είναι επίσης μεταξύ των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math.

Αν Πρότυπο:Math, τότε Πρότυπο:Math.

Υπάρχει μια έκφραση ολοκληρωτικής μορφής για την Πρότυπο:Math: ^[4]

$\begin{matrix} M (x, y) & = \frac{π}{2} {(\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{\sqrt{x^{2} \cos^{2} θ + y^{2} \sin^{2} θ}})}^{- 1} \\ = π {(\int_{0}^{\infty} \frac{d t}{\sqrt{t (t + x^{2}) (t + y^{2})}})}^{- 1} \\ = \frac{π}{4} \cdot \frac{x + y}{K (\frac{x - y}{x + y})} \end{matrix}$

όπου Πρότυπο:Math είναι το πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους:

$K (k) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d θ}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} (θ)}}$

Δεδομένου ότι η αριθμητική-γεωμετρική διαδικασία συγκλίνει τόσο γρήγορα, παρέχει έναν αποτελεσματικό τρόπο υπολογισμού ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, τα οποία χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, στο σχεδιασμό ελλειπτικών φίλτρων.^[5]

Ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος συνδέεται με τη συνάρτηση θ 3 του Ιακόμπι $θ_{3}$ με^[6]

$M (1, x) = θ_{3}^{- 2} (\exp (- π \frac{M (1, x)}{M (1, \sqrt{1 - x^{2}})})) = {(\sum_{n \in ℤ} \exp (- n^{2} π \frac{M (1, x)}{M (1, \sqrt{1 - x^{2}})}))}^{- 2},$

που, όταν $x = 1 / \sqrt{2}$ δίνει

$M (1, 1 / \sqrt{2}) = {(\sum_{n \in ℤ} e^{- n^{2} π})}^{- 2} .$

Σχετικές έννοιες

Το αντίστροφο του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου του 1 και της τετραγωνικής ρίζας του 2 είναι η σταθερά του Γκάους.

$\frac{1}{M (1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268 \dots$

Το 1799, ο Γκάους απέδειξε^[7] Μέχρι το 1799, ο Γκάους είχε δύο αποδείξεις του θεωρήματος, αλλά καμία από αυτές δεν ήταν αυστηρή από τη σύγχρονη άποψη. ότι

$M (1, \sqrt{2}) = \frac{π}{ϖ}$

όπου $ϖ$ είναι η σταθερά του Λημνισκάτ.

Το 1941, το $M (1, \sqrt{2})$ (και συνεπώς το $G$ ) αποδείχθηκε υπερβατικό από τον Θεόδωρο Σνάιντερ.^[8] ^[9] ^[10]^[11] Το σύνολο ${π, M (1, 1 / \sqrt{2})}$ είναι αλγεβρικά ανεξάρτητο πάνω στο $ℚ$ ,^[12]^[13] αλλά το σύνολο ${π, M (1, 1 / \sqrt{2}), M^{'} (1, 1 / \sqrt{2})}$ (όπου ο πρώτος αριθμός δηλώνει την παράγωγο ως προς τη δεύτερη μεταβλητή) δεν είναι αλγεβρικά ανεξάρτητη στο $ℚ$ . Στην πραγματικότητα,^[14]

$π = 2 \sqrt{2} \frac{M^{3} (1, 1 / \sqrt{2})}{M^{'} (1, 1 / \sqrt{2})} .$

Ο γεωμετρικός-αρμονικός μέσος GH μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας ανάλογες ακολουθίες γεωμετρικών και αρμονικών μέσων, και μάλιστα Πρότυπο:Math.^[15] Ο αριθμητικός-αρμονικός μέσος όρος είναι ισοδύναμος με τον γεωμετρικό μέσο όρο.

Ο αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος μπορεί να χρησιμοποιηθεί - μεταξύ άλλων - για τον υπολογισμό λογαρίθμων, πλήρων και ατελών ελλειπτικών ολοκληρωμάτων πρώτου και δεύτερου είδους^[16] και ελλειπτικών συναρτήσεων Ιακόμπι^[17].

Απόδειξη της ύπαρξης

Η ανισότητα των αριθμητικών και γεωμετρικών μέσων συνεπάγεται ότι

$g_{n} \leq a_{n}$

και ως εκ τούτου

$g_{n + 1} = \sqrt{g_{n} \cdot a_{n}} \geq \sqrt{g_{n} \cdot g_{n}} = g_{n}$

Δηλαδή, η ακολουθία Πρότυπο:Math είναι μη φθίνουσα και οριοθετείται παραπάνω από το μεγαλύτερο των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Σύμφωνα με το θεώρημα μονοτονικής σύγκλισης, η ακολουθία είναι συγκλίνουσα, οπότε υπάρχει ένα Πρότυπο:Math τέτοιο ώστε:

$\lim_{n \to \infty} g_{n} = g$

Ωστόσο, μπορούμε επίσης να διαπιστώσουμε ότι:

$a_{n} = \frac{g_{n + 1}^{2}}{g_{n}}$

και κατά συνέπεια:

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{g_{n + 1}^{2}}{g_{n}} = \frac{g^{2}}{g} = g$

Q.E.D.

Απόδειξη της έκφρασης με ολοκληρωτική μορφή

Η απόδειξη αυτή δίνεται από τον Γκάους.^[1] Έστω

$I (x, y) = \int_{0}^{π / 2} \frac{d θ}{\sqrt{x^{2} \cos^{2} θ + y^{2} \sin^{2} θ}},$

Αλλαγή της μεταβλητής ολοκλήρωσης σε $θ^{'}$ , όπου

$\sin θ = \frac{2 x \sin θ^{'}}{(x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'}},$

$\cos θ = \frac{\sqrt{(x + y)^{2} - 2 (x^{2} + y^{2}) \sin^{2} θ^{'} + (x - y)^{2} \sin^{4} θ^{'}}}{(x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'}},$

$\cos θ d θ = 2 x \frac{(x + y) - (x - y) \sin^{2} θ^{'}}{((x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'})^{2}} \cos θ^{'} d θ^{'},$

$d θ = \frac{2 x \cos θ^{'} ((x + y) - (x - y) \sin^{2} θ^{'})}{((x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'}) \sqrt{(x + y)^{2} - 2 (x^{2} + y^{2}) \sin^{2} θ^{'} + (x - y)^{2} \sin^{4} θ^{'}}} d θ^{'},$

$x^{2} \cos^{2} θ + y^{2} \sin^{2} θ = \frac{x^{2} ((x + y)^{2} - 2 (x^{2} + y^{2}) \sin^{2} θ^{'} + (x - y)^{2} \sin^{4} θ^{'}) + 4 x^{2} y^{2} \sin^{2} θ^{'}}{((x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'})^{2}} = \frac{x^{2} ((x + y) - (x - y) \sin^{2} θ^{'})^{2}}{((x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'})^{2}}$

Έτσι προκύπτει

$\frac{d θ}{\sqrt{x^{2} \cos^{2} θ + y^{2} \sin^{2} θ}} = \frac{2 x \cos θ^{'} ((x + y) - (x - y) \sin^{2} θ^{'})}{((x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'}) \sqrt{(x + y)^{2} - 2 (x^{2} + y^{2}) \sin^{2} θ^{'} + (x - y)^{2} \sin^{4} θ^{'}}} \frac{((x + y) + (x - y) \sin^{2} θ^{'})}{x ((x + y) - (x - y) \sin^{2} θ^{'})} = \frac{2 \cos θ^{'} d θ^{'}}{\sqrt{(x + y)^{2} - 2 (x^{2} + y^{2}) \sin^{2} θ^{'} + (x - y)^{2} \sin^{4} θ^{'}}},$

δίνει

$\begin{matrix} I (x, y) & = \int_{0}^{π / 2} \frac{d θ^{'}}{\sqrt{(\frac{1}{2} (x + y))^{2} \cos^{2} θ^{'} + (\sqrt{x y})^{2} \sin^{2} θ^{'}}} \\ = I (\frac{1}{2} (x + y), \sqrt{x y}) . \end{matrix}$

Συνεπώς, έχουμε

$\begin{matrix} I (x, y) & = I (a_{1}, g_{1}) = I (a_{2}, g_{2}) = \dots \\ = I (M (x, y), M (x, y)) = π / (2 M (x, y)) . \end{matrix}$

Η τελευταία ισότητα προκύπτει από την παρατήρηση ότι $I (z, z) = π / (2 z)$ .

Τέλος, προκύπτει το επιθυμητό αποτέλεσμα

$M (x, y) = π / (2 I (x, y)) .$

Εφαρμογές

Ο αριθμός π

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο Γκάους-Λεζάντρ, ^[18]

$π = \frac{4 M (1, 1 / \sqrt{2})^{2}}{1 - \sum_{j = 1}^{\infty} 2^{j + 1} c_{j}^{2}},$

όπου

$c_{j} = \frac{1}{2} (a_{j - 1} - g_{j - 1}),$

με $a_{0} = 1$ και $g_{0} = 1 / \sqrt{2}$ , τα οποία μπορούν να υπολογιστούν χωρίς απώλεια ακρίβειας χρησιμοποιώντας

$c_{j} = \frac{c_{j - 1}^{2}}{4 a_{j}} .$

Πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα K(sinα)

Με $a_{0} = 1$ και $g_{0} = \cos α$ προκύπτει το AGM

$M (1, \cos α) = \frac{π}{2 K (\sin α)},$

όπου Πρότυπο:Math είναι ένα πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα πρώτου είδους:

$K (k) = \int_{0}^{π / 2} (1 - k^{2} \sin^{2} θ)^{- 1 / 2} d θ .$

Με άλλα λόγια, αυτό το τέταρτο περιόδου μπορεί να υπολογιστεί αποτελεσματικά με τη χρήση του AGM,

$K (k) = \frac{π}{2 M (1, \sqrt{1 - k^{2}})} .$

Άλλες εφαρμογές

Χρήση αυτής της ιδιότητας του AGM μαζί με τους ανοδικούς μετασχηματισμούς του Τζον Λάντεν,^[19] Ρίτσαρντ Π. Μπρεντ ^[20] πρότειναν τους πρώτους αλγορίθμους AGM για τη γρήγορη αξιολόγηση στοιχειωδών υπερβατικών συναρτήσεων (Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math). Στη συνέχεια, πολλοί συγγραφείς συνέχισαν να μελετούν τη χρήση των αλγορίθμων AGM.^[21]

Δημοσιεύσεις

Πρότυπο:Reflist

Δείτε επίσης

David H. Bailey et al. The Quest for Pi Πρότυπο:Webarchive (PDF)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM, A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. John Wiley, New York 1987, ISBN 0-471-31515-X.
Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924,
Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Πρότυπο:Cite journal
↑ agm(24, 6) at Wolfram Alpha
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite book pages 35, 40
↑ By 1799, Gauss had two proofs of the theorem, but neither of them was rigorous from the modern point of view.
↑ In particular, he proved that the beta function $B (a, b)$ is transcendental for all $a, b \in ℚ ∖ ℤ$ such that $a + b \notin ℤ_{0}^{-}$ . The fact that $M (1, \sqrt{2})$ is transcendental follows from $M (1, \sqrt{2}) = \frac{1}{2} B (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) .$
↑ In particular, he proved that the beta function $B (a, b)$ is transcendental for all $a, b \in ℚ ∖ ℤ$ such that $a + b \notin ℤ_{0}^{-}$ . The fact that $M (1, \sqrt{2})$ is transcendental follows from $M (1, \sqrt{2}) = \frac{1}{2} B (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) .$
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, p. A-486
↑ G. V. Chudnovsky: Contributions to The Theory of Transcendental Numbers, American Mathematical Society, 1984, p. 6
↑ Πρότυπο:Cite book p. 45
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite book

Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar

[Cox-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 Πρότυπο:Cite journal

[2] (24, 6) at Wolfram Alpha

[3] Πρότυπο:Cite book

[4] Πρότυπο:Cite web

[Dimopoulos2011-5] Πρότυπο:Cite book

[6] Πρότυπο:Cite book pages 35, 40

[7] By 1799, Gauss had two proofs of the theorem, but neither of them was rigorous from the modern point of view.

[8] In particular, he proved that the beta function $B (a, b)$ is transcendental for all $a, b \in ℚ ∖ ℤ$ such that $a + b \notin ℤ_{0}^{-}$ . The fact that $M (1, \sqrt{2})$ is transcendental follows from $M (1, \sqrt{2}) = \frac{1}{2} B (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) .$

[9] In particular, he proved that the beta function $B (a, b)$ is transcendental for all $a, b \in ℚ ∖ ℤ$ such that $a + b \notin ℤ_{0}^{-}$ . The fact that $M (1, \sqrt{2})$ is transcendental follows from $M (1, \sqrt{2}) = \frac{1}{2} B (\frac{1}{2}, \frac{3}{4}) .$

[10] Πρότυπο:Cite journal

[11] Πρότυπο:Cite journal

[12] G. V. Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, p. A-486

[13] G. V. Chudnovsky: Contributions to The Theory of Transcendental Numbers, American Mathematical Society, 1984, p. 6

[14] Πρότυπο:Cite book p. 45

[15] Πρότυπο:Cite journal

[16] Πρότυπο:Cite web

[17] Πρότυπο:Cite book

[18] Πρότυπο:Cite journal

[19] Πρότυπο:Cite journal

[20] Πρότυπο:Cite journal

[21] Πρότυπο:Cite book

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

Αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)

Περιεχόμενα

Παράδειγμα

Ιστορία

Ιδιότητες

Σχετικές έννοιες

Απόδειξη της ύπαρξης

Απόδειξη της έκφρασης με ολοκληρωτική μορφή

Εφαρμογές

Ο αριθμός π

Πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα K(sinα)

Άλλες εφαρμογές

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος (όρος)

Παράδειγμα

Ιστορία

Ιδιότητες

Σχετικές έννοιες

Απόδειξη της ύπαρξης

Απόδειξη της έκφρασης με ολοκληρωτική μορφή

Εφαρμογές

Ο αριθμός π

Πλήρες ελλειπτικό ολοκλήρωμα K(sinα)

Άλλες εφαρμογές

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση