Δεκάγωνο

Στη γεωμετρία το δεκάγωνο (από τις ελληνικές λέξεις δέκα και γωνία) είναι ένα οποιοδήποτε πολύγωνο σχήμα με δέκα πλευρές και δέκα κορυφές.

Ένα δεκάγωνο είναι κανονικό αν όλες οι πλευρές και όλες οι γωνίες του είναι ίσες μεταξύ τους.

Ιδιότητες

Σε κάθε δεκάγωνο οι γωνίες του έχουν άθροισμα $8 π$ ακτίνια ή $1440$ μοίρες.

Κανονικό δεκάγωνο

Ιδιότητες

Οι γωνίες του είναι ίσες με 144 μοίρες (°) ή 4π/5 ακτίνια η καθεμιά.
Το κανονικό δεκάγωνο έχει δέκα άξονες συμμετρίας.
Έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου.
Έχει περιστροφική συμμετρία δέκατης τάξεως.
Το σύμβολο Schläfli του οκταγώνου είναι ${10}$ .

Εμβαδό

Το εμβαδό $E$ ενός κανονικού δεκαγώνου με μήκος πλευράς $x$ δίνεται από τη σχέση:

E = \frac{5}{2} x^{2} \cot \frac{π}{10} = \frac{5 x^{2}}{2} \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} ≃ 7.694208843 x^{2}

,

καθώς επίσης και από την σχέση

E = \frac{5 x d}{2}

,

όπου $d$ είναι η απόσταση μεταξύ παράλληλων πλευρών ή το ύψος του σχήματος όταν το δεκάγωνο στέκεται πάνω στη μία του πλευρά ως βάση.

Μετρικές σχέσεις

Η πλευρά ενός κανονικού δεκαγώνου που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1 έχει μήκος

x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1}{φ}

,

όπου

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

είναι η «χρυσή αναλογία».

Το μήκος του ύψους του κανονικού δεκαγώνου, δίνεται από τον τύπο

d = 2 x (\cos 5 4^{\circ} + \cos 1 8^{\circ})

.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Το κανονικό δεκάγωνο είναι δυνατό να κατασκευασθεί με κανόνα και διαβήτη.

Μια εναλλακτική (αλλά παρόμοια) μέθοδος είναι η εξής:

Κατασκευάστε ένα κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο με μία από τις μεθόδους που δίνονται στο αντίστοιχο λήμμα.
Εκτείνετε μία ευθεία από κάθε κορυφή του πενταγώνου διερχόμενη από το κέντρο του κύκλου προς την αντίθετη πλευρά. Το σημείο όπου η κάθε γραμμή τέμνει τον κύκλο απέναντι είναι μία κορυφή του δεκαγώνου.
Οι πέντε κορυφές του πενταγώνου είναι οι άλλες 5 κορυφές του δεκαγώνου. Ενώστε αυτά τα σημεία με τα νέα για να σχηματίσετε το (κανονικό) δεκάγωνο.

Παράγωγα σχήματα

Υπάρχει ένα κανονικό αστεροειδές πολύγωνο, γνωστό ως δεκάγραμμα, με σύμβολο Schläfli {10/3}, που προκύπτει από τις ίδιες κορυφές ενώνοντας μεταξύ τους κάθε τρίτη κορυφή. Επίσης υπάρχουν δύο παραλλαγές: το {10/4} ανάγεται σε 2{5/2} ως δύο πενταγράμματα, και το {10/2} ανάγεται σε 2{5} ως δύο πεντάγωνα.

{10/3} Decagram	{10/2} or 2{5}	{10/4} or 2{5/2}

Πολύγωνα Petrie

Το κανονικό δεκάγωνο είναι το πολύγωνο Πέτρι για πολλά πολύτοπα περισσότερων διαστάσεων, που παρατίθενται σε ορθογώνιες προβολές σε διάφορα επίπεδα Coxeter:

A₉	9-simplex	ανορθωμένο 9-simplex	διανορθωμένο 9-simplex	τριανορθωμένο 9-simplex	τετρανορθωμένο 9-simplex
BC₅	5-orthoplex	ανορθωμένο 5-orthoplex	διανορθωμένος 5-κύβος	ανορθωμένος 5-κύβος	5-κύβος
D₆	t₁(4₃₁)	t₃(1₃₁)	t₂(1₃₁)	t₁(1₃₁)	6-ημίκυβος (1₃₁)
H₃	δωδεκάεδρο Πέτρι	εικοσάεδρο Πέτρι	εικοσιδωδεκάεδρο