Εικασίες του Μερσέν

Από testwiki
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση

Στα μαθηματικά, οι εικασίες του Μερσέν[1] αφορούν τον χαρακτηρισμό ενός είδους πρώτων αριθμών που ονομάζονται πρώτοι αριθμοί Μερσέν[2], δηλαδή πρώτοι αριθμοί που είναι δύναμη του δύο μείον ένα.

Πρωτότυπη εικασία Μερσέν

Η αρχική, αποκαλούμενη εικασία του Μερσέν, ήταν μια δήλωση του Μαρίν Μερσέν στο έργο του Cogitata Physico-Mathematica (1644, βλ. π.χ. Dickson 1919) ότι οι αριθμοί 2n−1 ήταν πρώτοι για n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 και 257, και ήταν σύνθετοι για όλους τους άλλους θετικούς ακέραιους αριθμούς n ≤ 257. Οι πρώτες επτά καταχωρήσεις του καταλόγου του (2n−1 για n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) είχαν ήδη αποδειχθεί ότι είναι πρώτοι αριθμοί με δοκιμαστική διαίρεση πριν από την εποχή του Μερσέν,[3] μόνο οι τέσσερις τελευταίες καταχωρίσεις ήταν νέοι ισχυρισμοί του Μερσέν. Λόγω του μεγέθους αυτών των τελευταίων αριθμών, ο Μερσέν δεν τους έλεγξε και δεν μπορούσε να τους ελέγξει όλους, ούτε οι ομότεχνοί του τον 17ο αιώνα. Τελικά διαπιστώθηκε, μετά από τρεις αιώνες και τη διαθεσιμότητα νέων τεχνικών, όπως το τεστ Λούκας-Λέμερ[4], ότι η εικασία του Μερσέν περιείχε πέντε λάθη, δηλαδή δύο καταχωρίσεις είναι σύνθετες (αυτές που αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς n = 67, 257) και τρεις πρώτοι αριθμοί λείπουν (αυτοί που αντιστοιχούν στους πρώτους αριθμούς n = 61, 89, 107). Ο σωστός κατάλογος για n ≤ 257 είναι: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 και 127.

Αν και η αρχική εικασία του Μερσέν ήταν λανθασμένη, ωστόσο οδήγησε στη Νέα εικασία Μερσέν.

Νέα εικασία Μερσέν

Η νέα εικασία Μερσέν ή εικασία των Μπάτεμαν, Σέλφριτζ και Γουάγκσταφ (Bateman et al. 1989) δηλώνει ότι για κάθε περιττό φυσικό αριθμό p, αν ισχύουν δύο από τις ακόλουθες συνθήκες, τότε ισχύει και η τρίτη:

  1. p = 2k ± 1 ή p = 4k ± 3 για κάποιο φυσικό αριθμό k. (Πρότυπο:Oeis)
  2. 2p − 1 είναι πρώτος αριθμός (πρώτος αριθμός Μέρσεν[2]). (Πρότυπο:Oeis)
  3. (2p + 1)/3 είναι πρώτος αριθμός (πρώτος αριθμός του Γουάγκσταφ). (Πρότυπο:Oeis)

Αν το p είναι περιττός σύνθετος αριθμός, τότε ο -2p − 1 και ο (2p + 1)/3 είναι και οι δύο σύνθετοι. Επομένως, είναι απαραίτητο να ελέγξουμε μόνο τους πρώτους αριθμούς για να επαληθεύσουμε την ορθότητα της εικασίας.

Επί του παρόντος, υπάρχουν εννέα γνωστοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν και οι τρεις προϋποθέσεις: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 Πρότυπο:OEIS). Οι Μπάτεμαν κ.ά. ανέμεναν ότι κανένας αριθμός μεγαλύτερος από τον 127 δεν ικανοποιεί και τις τρεις συνθήκες και έδειξαν ότι ευρετικά κανένας μεγαλύτερος αριθμός δεν θα ικανοποιούσε καν δύο συνθήκες, γεγονός που θα έκανε τη Νέα Εικασία Μερσέν αληθής.

Από το 2024, είναι γνωστοί όλοι οι πρώτοι αριθμοί Μερσέν μέχρι το 257885161 - 1, και για κανέναν από αυτούς δεν ισχύει η τρίτη συνθήκη, εκτός από αυτούς που μόλις αναφέρθηκαν. Οι πρώτοι αριθμοί που ικανοποιούν τουλάχιστον μία συνθήκη είναι οι εξής [5][6][7][8] Οι πρώτοι αριθμοί που ικανοποιούν τουλάχιστον μία συνθήκη είναι

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ... Πρότυπο:OEIS

Ας σημειωθεί ότι οι δύο πρώτοι αριθμοί για τους οποίους η αρχική εικασία Μερσέν είναι λανθασμένη (67 και 257) ικανοποιούν την πρώτη συνθήκη της νέας εικασίας (67 = 26 + 3, 257 = 28 + 1), αλλά όχι οι άλλοι δύο. Οι 89 και 107, οι οποίοι είχαν χαθεί από τον Μερσέν, ικανοποιούν τη δεύτερη συνθήκη, αλλά όχι τις άλλες δύο. Ο Μερσέν μπορεί να πίστευε ότι το 2p − 1 είναι πρώτος μόνο αν p = 2k ± 1 or p = 4k ± 3 για κάποιον φυσικό αριθμό k, αλλά αν πίστευε ότι ήταν «αν και μόνο αν» θα είχε συμπεριλάβει το 61.

Κατάσταση της νέας εικασίας Μερσέν για τους πρώτους 100 πρώτους αριθμούς
2[9] 3 5 7 11 13 17 19 23 29
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349
353 359 367 373 379 383 389 397 401 409
419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541
Κόκκινο: Το p έχει τη μορφή 2n±1 ή 4n±3
Κυανό φόντο: 2p−1 είναι πρώτος
Πλάγια γράμματα: (2p+1)/3 είναι πρώτος
Έντονη γραφή: το p ικανοποιεί τουλάχιστον μία συνθήκη

Η νέα εικασία Μερσέν μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσπάθεια να διασωθεί η εικασία του Μερσέν, η οποία είναι λανθασμένη. Ωστόσο, σύμφωνα με τον Ρόμπερτ Ν. Σίλβερμαν, ο Τζον Σέλφριτζ συμφώνησε ότι η Νέα εικασία Μερσέν είναι «προφανώς αληθής», καθώς επιλέχθηκε για να ταιριάζει με τα γνωστά δεδομένα και τα αντιπαραδείγματα πέραν αυτών των περιπτώσεων είναι εξαιρετικά απίθανα. Μπορεί να θεωρηθεί περισσότερο ως μια περίεργη παρατήρηση παρά ως ένα ανοικτό ερώτημα που χρήζει απόδειξης.

Το Prime Pages δείχνει ότι η Νέα εικασία Μερσέν είναι αληθής για όλους τους ακέραιους αριθμούς μικρότερους ή ίσους με 30402457[5], απαριθμώντας συστηματικά όλους τους πρώτους αριθμούς για τους οποίους είναι ήδη γνωστό ότι ισχύει μία από τις προϋποθέσεις.

Εικασία Λένστρα-Πόμερανς-Γουάγκσταφ

Οι Λένστρα, Πόμερανς και Γουάγκσταφ υπέθεσαν ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι αριθμοί Μερσέν, και, πιο συγκεκριμένα, ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών Μερσέν μικρότερος από x προσεγγίζεται ασυμπτωτικά από

eγ⋅log2log2(x),[10]

όπου γ είναι η σταθερά Όιλερ-Μαστσερόνι. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των πρώτων αριθμών Μερσέν με εκθέτη p μικρότερο από y είναι ασυμπτωτικά

eγ⋅log2(y).[10]

Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει κατά μέσο όρο να υπάρχουν περίπου eγ⋅log2(10) ≈ 5.92 πρώτοι αριθμοί p ενός δεδομένου αριθμού δεκαδικών ψηφίων, ώστε Mp να είναι πρώτος. Η εικασία είναι αρκετά ακριβής για τους πρώτους 40 πρώτους αριθμούς Μερσέν, αλλά μεταξύ220,000,000 και 285,000,000 υπάρχουν τουλάχιστον 12,[11] αντί του αναμενόμενου αριθμού που είναι περίπου 3,7.

Γενικότερα, το πλήθος των πρώτων αριθμών p ≤ y ώστε ap−bpa−b να είναι πρώτος (όπου a, b είναι σχετικά πρώτοι ακέραιοι αριθμοί, a > 1, −a < b < a, a και b δεν είναι και οι δύο τέλειες r-th δυνάμεις για κάθε φυσικό αριθμό r > 1, και −4ab δεν είναι τέλεια τέταρτη δύναμη) είναι ασυμπτωτικά

(eγ+m⋅loge(2))⋅loga(y).

όπου m είναι ο μεγαλύτερος μη αρνητικός ακέραιος αριθμός ώστε a και -b να είναι αμφότεροι τέλειες 2m-ες δυνάμεις. Η περίπτωση των πρώτων αριθμών Μερσέν είναι μια περίπτωση (a, b) = (2, 1).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

  1. ↑ Πρότυπο:Cite web
  2. ↑ 2,0 2,1 Πρότυπο:Cite web
  3. ↑ See the sources given for the individual primes in List of Mersenne primes and perfect numbers.
  4. ↑ Πρότυπο:Cite web
  5. ↑ 5,0 5,1 Πρότυπο:Cite web
  6. ↑ Πρότυπο:Cite web
  7. ↑ New Mersenne Conjecture
  8. ↑ Status of the "New Mersenne Conjecture"
  9. ↑ 2=20 + 1 satisfies exactly two of the three conditions, but is explicitly excluded from the conjecture due to being even
  10. ↑ 10,0 10,1 Heuristics: Deriving the Wagstaff Mersenne Conjecture. The Prime Pages. Retrieved on 2014-05-11.
  11. ↑ Πρότυπο:Cite journal
Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Εικασίες_του_Μερσέν&oldid=3020»