Επίπεδη καµπύλη

Στα μαθηματικά, μια επίπεδη καμπύλη είναι μια καμπύλη σε ένα επίπεδο που μπορεί να είναι ένα ευκλείδειο χώρο, ένα συγγενές επίπεδο ή ένα προβολικό επίπεδο. Οι πιο συχνά μελετώμενες περιπτώσεις είναι οι λείες επίπεδες καμπύλες (συμπεριλαμβανομένων των τμηματικά λείων επίπεδων καμπυλών) και οι αλγεβρικές επίπεδες καμπύλες. Οι επίπεδες καμπύλες περιλαμβάνουν επίσης τις καμπύλες Ζορντάν (καμπύλες που περικλείουν μια περιοχή του επιπέδου αλλά δεν χρειάζεται να είναι λείες) και τις γραφικές παραστάσεις συνεχών συναρτήσεων.

Συμβολική αναπαράσταση

Μια επίπεδη καμπύλη μπορεί συχνά να αναπαρασταθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες με μια άρρητη εξίσωση της μορφής $f(x,y)=0$ για κάποια συγκεκριμένη συνάρτηση f. Εάν αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί ρητά για το y ή το x - δηλαδή να ξαναγραφεί ως $y=g(x)$ ή $x=h(y)$ για συγκεκριμένη συνάρτηση g ή h - τότε αυτό παρέχει μια εναλλακτική, ρητή, μορφή της αναπαράστασης. Μια επίπεδη καμπύλη μπορεί επίσης συχνά να αναπαρασταθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες με μια παραμετρική εξίσωση της μορφής $(x,y)=(x(t),y(t))$ για συγκεκριμένες συναρτήσεις $x(t)$ και $y(t).$

Οι επίπεδες καμπύλες μπορούν επίσης μερικές φορές να αναπαρασταθούν σε εναλλακτικά συστήματα συντεταγμένων, όπως οι πολικές συντεταγμένες που εκφράζουν τη θέση κάθε σημείου σε όρους γωνίας και απόστασης από την αρχή.

Λεία επίπεδη καμπύλη

Μια λεια επίπεδη καμπύλη είναι μια καμπύλη σε έναν πραγματικό Ευκλείδειο επίπεδο ${ℝ}^2$ και είναι μια μονοδιάστατη λεία πολλαπλότητα. Αυτό σημαίνει ότι μια λεία επίπεδη καμπύλη είναι μια επίπεδη καμπύλη που «τοπικά μοιάζει με Ευθεία», με την έννοια ότι κοντά σε κάθε σημείο, μπορεί να απεικονιστεί σε μια γραμμή με μια λεία συνάρτηση. Ισοδύναμα, μια λεία επίπεδη καμπύλη μπορεί να δοθεί τοπικά από μια εξίσωση $f(x,y)=0,$ όπου $f:{ℝ}^2\to ℝ$ είναι μια λεία συνάρτηση, και οι μερικές παράγωγοι $\partial f/\partial x$ και $\partial f/\partial y$ δεν είναι ποτέ και οι δύο 0 σε ένα σημείο της καμπύλης.

Καμπύλη αλγεβρικού επιπέδου

Μια αλγεβρική επίπεδη καμπύλη είναι μια καμπύλη σε ένα αφινικό ή προβολικό επίπεδο που δίνεται από μια πολυωνυμική εξίσωση $f(x,y)=0$ (ή $F(x,y,z)=0,$ όπου Πρότυπο:Mvar είναι ένα ομογενές πολυώνυμο, στην προβολική περίπτωση).

Οι αλγεβρικές καμπύλες έχουν μελετηθεί εκτενώς από τον 18ο αιώνα.

Κάθε αλγεβρική επίπεδη καμπύλη έχει έναν βαθμό, τον βαθμό της εξίσωσης ορισμού, ο οποίος είναι ίσος, στην περίπτωση ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος, με τον αριθμό των τομών της καμπύλης με μια ευθεία σε γενική θέση. Παραδείγματος χάριν, ο κύκλος που δίνεται από την εξίσωση $x^2+y^2=1$ έχει βαθμό 2.

Οι μη-ιδιάζουσες επίπεδες αλγεβρικές καμπύλες βαθμού 2 ονομάζονται κωνικές τομές και η προβολική τους ολοκλήρωση είναι όλες ισομορφικές με την προβολική ολοκλήρωση του κύκλου $x^2+y^2=1$ (δηλαδή η προβολική καμπύλη της εξίσωσης Πρότυπο:Nowrap Οι επίπεδες καμπύλες 3ου βαθμού ονομάζονται κυβικές επίπεδες καμπύλες και, αν είναι μη-ιδιάζουσες, ελλειπτικές καμπύλες. Αυτές του βαθμού 4 ονομάζονται τεταρτογενείς επίπεδες καμπύλες.

Παραδείγματα

Πολυάριθμα παραδείγματα επίπεδων καμπυλών παρουσιάζονται στην Συλλογή καμπυλών και απαριθμούνται στη Λίστα καμπυλών. Οι αλγεβρικές καμπύλες βαθμού 1 ή 2 παρουσιάζονται εδώ (μια αλγεβρική καμπύλη βαθμού μικρότερου από 3 περιέχεται πάντα σε ένα επίπεδο):

Όνομα	Άρρητη συνάρτηση	Παραμετρικές εξισώσεις	Ως Συνάρτηση	Διάγραμμα
Ευθεία	$ax+by=c$	$(x,y)=(x_0+\alpha t,y_0+\beta t)$	$y=mx+c$
Κύκλος	$x^2+y^2=r^2$	$(x,y)=(r\cos t,r\sin t)$
Παραβολή	$y-x^2=0$	$(x,y)=(t,t^2)$	$y=x^2$
Έλλειψη	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	$(x,y)=(a\cos t,b\sin t)$
Υπερβολή	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	$(x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)$

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite conference

• Πρότυπο:Cite book

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Ευκλείδειος χώρος
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Ομογενές πολυώνυμο
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Παραβολή (γεωμετρία)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Πολικό σύστημα συντεταγμένων
• Άλγεβρα Μπουλ
• Βαθμός πολυωνύμου
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Χώρος Γραμμών και Χώρος Στηλών
• Πραγματικός αριθμός
• Μηδενοδύναμο στοιχείο
• Μονοδύναμο στοιχείο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Euclid’s elements of geometry - The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) Πανεπιστήμιο του Τέξας στο Όστιν
• A History of Greek Mathematics, Τόμος 1
• A History of Greek Mathematics: Τόμος 2
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Plane Algebraic Curves
• Singular Points of Plane Curves.
• Mechanisms for the Generation of Plane Curves..
• A Catalog of Special Plane Curves.
• A Book of Curves.
• Handbook and Atlas of Curves....
• Representations of Nilpotent Lie Groups and Their Applications: Volume 1 .. ...
• Unipotent and Nilpotent Classes in Simple Algebraic Groups and Lie Algebras..

Παραπομπές

• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Citation.
• Πρότυπο:Citation.