Ευκλείδεια περιοχή

Πρότυπο:Πηγές Ως Ευκλείδεια περιοχή (Euclidean domain) ορίζουμε μια ακεραία περιοχή $ℛ$ εφοδιασμένη με μια απεικόνιση $\delta :ℛ\setminus \{0\}\to {\mathbb{Z}}^{+}$ η οποία ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

• αν $a/b$ τότε $\delta (a)\le \delta (b)$

• Για κάθε $a,b\in ℛ$ υπάρχουν $q,r\in ℛ$ όπου $b=qa+r$ και είτε $r=0$ είτε $\delta (r)<\delta (a)$.

Η απεικόνιση δ καλείται Ευκλείδεια συνάρτηση της $ℛ$.

Παραδείγματα

• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών $\mathbb{Z}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta (x)=|x|$.

• Το σύνολο των ακεραίων του Gauss $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi|a,b\in \mathbb{Z}\}$ είναι Ευκλείδεια περιοχή με Ευκλείδεια συνάρτηση την $\delta (a+bi)=a^2+b^2$.