Θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ

Το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ είναι μαθηματικό θεώρημα στη θεωρία του κόσκινου. Είναι ένα βασικό συστατικό σε αποδείξεις του θεωρήματος του Τσεν σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ.Πρότυπο:Rp Αποδείχθηκε το 1965 από τους Βόλφγκανγκ Μπ. Γιούρκατ και Χανς-Έγκον Ρίχερτ.

Δήλωση του θεωρήματος

Αυτή η διατύπωση είναι από τους Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ.Πρότυπο:Rp Άλλες διατυπώσεις είναι από τους Γιούρκατ και Ρίχερτ,Πρότυπο:Rp Χάλμπερσταμ και Ρίχτερτ,Πρότυπο:Rp και Νάθανσον.Πρότυπο:Rp

Ας υποθέσουμε ότι Α είναι μια πεπερασμένη ακολουθία ακέραιων και Ρ είναι ένα σύνολο πρώτων αριθμών. Γράφουμε A_d για τον αριθμό των στοιχείων του Α που διαιρούνται με το d και Ρ(z) για το γινόμενο από τα στοιχεία του Ρ που είναι μικρότερα από το z. Γράφουμε το ω(d) για την πολλαπλασιαστική συνάρτηση έτσι ώστε το ω(p)/p να είναι περίπου ο λόγος των στοιχείων του Α που διαιρούνται από το p. Τέλος γράφουμε X για οποιαδήποτε κατάλληλη προσέγγιση του |A|, και να γράψει το υπόλοιπο ως

$r_A(d)=\left|A_d\right|-\frac{\omega (d)}{d}X.$

Γράφουμε S(A,P,z) για τον αριθμό των στοιχείων σε Α που είναι σχετικά πρώτοι P(z). Γράφουμε

$V(z)=\prod _{p\in P,p<z}(1-\frac{\omega (p)}{p}).$

Γράφουμε ν(m) για τον αριθμό των διακριτών πρώτων διαιρετών του m. Γράφουμε F₁ και f₁ για τις εξισώσεις που πληρούν ορισμένες διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Ντάιαμοντ και ΧάλμπερσταμΠρότυπο:Rp για τον ορισμό και ιδιότητες).

Υποθέτουμε ότι η διάσταση (Πρότυπο:Ασαφές) είναι 1: όπου υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε για το 2 ≤ z < w να έχουμε

$\prod _{z\le p<w}{(1-\frac{\omega (p)}{p})}^{-1}\le \left(\frac{\log w}{\log z}\right)(1+\frac{C}{\log z}).$

(Το βιβλίο των Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ επεκτείνει το θεώρημα σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 1.), Τότε το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ ορίζει ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς ψ και z με 2 ≤ z ≤ y ≤ X έχουμε

$S(A,P,z)\le XV(z)(F_1\left(\frac{\log y}{\log z}\right)+O\left(\frac{(\log \log y{)}^{3/4}}{(\log y{)}^{1/4}}\right))+\sum _{m|P(z),m<y}{4}^{\nu (m)}|r_A(m)|$

και

$S(A,P,z)\ge XV(z)(f_1\left(\frac{\log y}{\log z}\right)-O\left(\frac{(\log \log y{)}^{3/4}}{(\log y{)}^{1/4}}\right))-\sum _{m|P(z),m<y}{4}^{\nu (m)}|r_A(m)|.$