Θεώρημα Στιούαρτ

Τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{\Delta }$ σημείο της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Στιούαρτ ή σχέση Στιούαρτ (αναφέρεται και ως θεώρημα Stewart ή σχέση Stewart) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ και ένα σημείο $\mathrm{\Delta }$ της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Τότε,Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2\cdot \mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }+{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\cdot ({\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2+\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Delta })$.

Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου.

Η γενικευμένη σχέση Στιούαρτ δίνει ότι για κάθε σημείο $\mathrm{\Delta }$ της ευθείας $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2\cdot \overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }}+{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2\cdot \overline{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}+{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}+\overline{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }}\cdot \overline{\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}\cdot \overline{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}=0$.

Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.Πρότυπο:Rp

Εφαρμογές

Υπολογισμός διαμέσου

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι $\mathrm{\Delta }$ είναι το μέσο της διαμέσου δηλαδή $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\frac{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}{2}$. Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι

${\mathrm{A}\mathrm{B}}^2\cdot \frac{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}{2}+{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2\cdot \frac{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}{2}=\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\cdot ({\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2+\frac{{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2}{4}).$

Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι

$\frac{{\mathrm{A}\mathrm{B}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2}{2}={\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2+\frac{{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2}{4},$

και τελικώς ότι

$\mathrm{A}\mathrm{\Delta }=\sqrt{-\frac{{\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}^2}{4}+\frac{{\mathrm{A}\mathrm{B}}^2}{2}+\frac{{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2}{2}}$.

Υπολογισμός εσωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\frac{\alpha \gamma }{\beta +\gamma }$ και $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\frac{\alpha \beta }{\beta +\gamma }$ από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι

${\gamma }^2\cdot \frac{\alpha \beta }{\beta +\gamma }+{\beta }^2\cdot \frac{\alpha \gamma }{\beta +\gamma }=\alpha \cdot ({\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2+\frac{{\alpha }^2\beta \gamma }{(\beta +\gamma {)}^2})$.

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι

${\delta }_A^2={\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2=\beta \gamma \cdot (1-\frac{{\alpha }^2}{(\beta +\gamma {)}^2}).$

Υπολογισμός εξωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\frac{\alpha \gamma }{\beta -\gamma }$ και $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\frac{\alpha \beta }{\beta -\gamma }$ από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Στιούαρτ, λαμβάνουμε ότι

${\gamma }^2\cdot \frac{\alpha \beta }{\beta -\gamma }-{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2\cdot \alpha +{\beta }^2\cdot \frac{\alpha \gamma }{\beta +\gamma }+\alpha \cdot \frac{{\alpha }^2\beta \gamma }{(\beta +\gamma {)}^2}=0$.

Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι

$({{\delta }_A}^{\prime }{)}^2={\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}^2=\beta \gamma \cdot (\frac{{\alpha }^2}{(\beta -\gamma {)}^2}-1).$

Γενικεύσεις

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Θεώρημα Στιούαρτ Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές.
• Απόδειξη με διανύσματα
• Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Πρώτο θεώρημα διαμέσων
• Νόμος των συνημιτόνων