Κενό σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, το κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται ως $\mathrm{\varnothing }$, $\varnothing$ ή $\{\}$. Σε πολλές από τις αξιωματικές θεμελιώσεις της θεωρίας συνόλων (όπως η θεωρία Zermelo-Fraenkel), η ύπαρξη του κενού συνόλου είναι αξίωμα. Στη γλώσσα της λογικής πρώτου βαθμού, αυτό εκφράζεται ως

$\mathrm{\exists }S.\mathrm{\forall }x.\mathrm{\neg }(x\in S)$,

δηλαδή υπάρχει ένα σύνολο για το οποίο κανένα στοιχείο δεν του ανήκει. Ως συνέπεια αυτού προκύπτει ότι το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

Στην θεωρία Zermelo-Fraenkel, το κενό σύνολο χρησιμοποιείται για την κατασκευή των φυσικών αριθμών και κατ'επέκταση των υπόλοιπων αριθμών. Πιο συγκεκριμένα, μπορούν να οριστούν ως

$\begin{array}{cc}\mathrm{0}& =\mathrm{\varnothing },\\ \mathrm{1}& =\{\mathrm{\varnothing }\},\\ \mathrm{2}& =\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\},\\ & ⋮\\ \mathrm{n}& =\{\mathrm{0},\mathrm{1},\dots ,\mathrm{n}-1\},\\ & ⋮\end{array}$

Ιδιότητες

• Το κενό σύνολο είναι μοναδικό.

• Για κάθε σύνολο $S$, ισχύει ότι $S\cap \mathrm{\varnothing }=\mathrm{\varnothing }$.

• Για κάθε σύνολο $S$, ισχύει ότι $S\cup \mathrm{\varnothing }=S$

• Το δυναμοσύνολο του κενού συνόλου είναι το σύνολο $\{\mathrm{\varnothing }\}$.
• Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου $S$, δηλαδή $\mathrm{\varnothing }\subseteq S$.

Δείτε επίσης

• Σύνολο
• Υποσύνολο
• Μονοσύνολο