Κλίση συνάρτησης

Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι $g(x)=mx+b$. Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης (δηλ. μιας ευθείας) είναι

Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.

$m=\frac{g(x_2)-g(x_1)}{x_2-x_1}$

για δύο οποιαδήποτε σημεία $(x_1,g(x_1)),(x_2,g(x_2))$ , όταν $x_1$ διάφορο $x_2$ .Αν $x_1=x_2$ Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας.

Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.

Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. καμπύλες στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής) συνάρτησης $f(x)$ σε κάποιο σημείο $x_1$ είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο $(x_1,f(x_1))$ με την κλίση της εφαπτομένης που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο $x_2$ κοντά στο $x_1$ η τέμνουσα που διέρχεται από τα σημεία $(x_1,f(x_1))$ και $(x_2,f(x_2))$ έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι

$\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται μέσος ρυθμός μεταβολής. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο $x_2$ στο σημείο $x_1$, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου $x_2$ στο σημείο $x_1$ και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως

$f^{\prime }(x_1)=\underset{x_2\to x_1}{\lim }\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}$

Η τιμή $f^{\prime }(x_1)$ ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης $f(x)$ στο σημείο $x_1$. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το όριο του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το $x_2$ τείνει στο $x_1$. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση $f(x)$ ονομάζεται διαφορίσιμη, αν δεν υπάρχει το όριο , μη διαφορίσιμη.

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση