Μηδενικός πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ο μηδενικός πίνακας είναι ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι μηδέν 0. Ο πίνακας διαστάσεων $n\times m$ συμβολίζεται ως ${\mathrm{𝟎}}_{n,m}$ και $({\mathrm{𝟎}}_{n,m}{)}_{ij}$, για κάθε $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Ή διαγραμματικά,

${\mathrm{𝟎}}_{n,m}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\\ 0& 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$

Όταν οι διαστάσεις του είναι ξεκάθαρες, συμβολίζεται απλά ως $\mathrm{𝟎}$.Πρότυπο:R Γενικότερα, σε έναν δακτύλιο το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στον μηδενικό πίνακα.Πρότυπο:Rp

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα μηδενικών πινάκων για διάφορες διαστάσεις:

${\mathrm{𝟎}}_{2,2}=\underset{2\times 2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]}}{\mathrm{𝟎}}_{3,3}=\underset{3\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}}{\mathrm{𝟎}}_{3,2}=\underset{3\times 2}{\underbrace{\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]}}{\mathrm{𝟎}}_{2,3}=\underset{2\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]}}{\mathrm{𝟎}}_{3,1}=\underset{3\times 1}{\underbrace{\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]}}{\mathrm{𝟎}}_{1,3}=\underset{1\times 3}{\underbrace{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]}}$

Ιδιότητες

Ο μηδενικός πίνακας ${\mathrm{𝟎}}_{n,m}$,

• Είναι το ουδέτερο στοιχείο των πινάκων με πράξη την πρόσθεση πινάκων διαστάσεων $n\times m$.Πρότυπο:R Δηλαδή, για κάθε πίνακα $A$ διαστάσεων $n\times m$, ισχύει ότι

$A+{\mathrm{𝟎}}_{n,m}={\mathrm{𝟎}}_{n,m}+A=A$.

• Είναι συμμετρικός, καθώς $({\mathrm{𝟎}}_{n,m}{)}_{ij}=({\mathrm{𝟎}}_{n,m}{)}_{ji}=0$, για κάθε $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$.
• Είναι αντισυμμετρικός, καθώς $({\mathrm{𝟎}}_{n,m}{)}_{ij}=-({\mathrm{𝟎}}_{n,m}{)}_{ji}=0$, για κάθε $1\le i\le n$ και $1\le j\le m$.
• Είναι διαγώνιος, καθώς $({\mathrm{𝟎}}_{n,m}{)}_{ij}=0$ (και) για κάθε $i=j$.Πρότυπο:R
• Έχει ίχνος $\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathrm{𝟎}}_{n,m})=0$.
• Έχει ορίζουσα $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}({\mathrm{𝟎}}_{n,m})=0$ και έτσι είναι μη-αντιστρέψιμος πίνακας.

Μηδενικό διάνυσμα

Το μηδενικό διάνυσμα $(0,0,\dots ,0)\in R^n$ σε έναν δακτύλιο $R$ (για παράδειγμα $R=ℝ$ ή $R=ℂ$) συμβολίζεται ως $\mathrm{𝟎}$ και είναι μία ειδική περίπτωση του μηδενικού πίνακα. Συγκεκριμένα, για $m=1$ παίρνουμε το μηδενικό διάνυσμα στήλης

${\mathrm{𝟎}}_{n,1}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],$

και για $n=1$ το μηδενικό διάνυσμα γραμμής

${\mathrm{𝟎}}_{1,m}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \dots & 0\end{array}\right].$

Δείτε επίσης

• Ταυτοτικός πίνακας