Μοναδιαίος κύκλος

Απεικόνιση ενός μοναδιαίου κύκλου. Η μεταβλητή t είναι μέτρο γωνίας .

Κινούμενο σχέδιο που ξετυλίγει την περιφέρεια ενός μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή ενός κύκλου με ακτίνα 1. Εφόσον Πρότυπο:Math, η περιφέρεια ενός μοναδιαίου κύκλου είναι Πρότυπο:Math.

Στα μαθηματικά, ο μοναδιαίος κύκλος είναι ένας κύκλος μοναδιαίας ακτίνας - δηλαδή, έχει ακτίνα 1. Συχνά, ειδικά στην τριγωνομετρία, ο μοναδιαίος κύκλος ορίζεται να είναι ο κύκλος με ακτίνα 1 και κέντρο την αρχή (0,0) στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων πανω στο ευκλείδειο επίπεδο. Στην τοπολογία, συχνά συμβολίζεται ως Πρότυπο:Math επειδή είναι μια μονοδιάστατη Πρότυπο:Math-σφαίρα.

Αν Πρότυπο:Math είναι ένα σημείο της περιφέρειας του μοναδιαίου κύκλου, τότε $\mid x\mid$ και $\mid y\mid$ είναι τα μήκη των κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η υποτείνουσα έχει μήκος 1. Έτσι, σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math ικανοποιούν την εξίσωση$$x^2+y^2=1.$$Εφόσον Πρότυπο:Math για κάθε Πρότυπο:Math, και εφόσον η ανάκλαση οποιουδήποτε σημείου στον μοναδιαίο κύκλο γύρω από τον άξονα Πρότυπο:Math ή τον άξονα Πρότυπο:Math βρίσκεται επίσης στον μοναδιαίο κύκλο, η παραπάνω εξίσωση ισχύει για όλα τα σημεία Πρότυπο:Math του μοναδιαίου κύκλου, όχι μόνο για αυτά που ανήκουν στο πρώτο τεταρτημόριο.

Το εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου ονομάζεται ανοιχτός μοναδιαίος δίσκος, ενώ το εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου σε συνδυασμό με τον ίδιο τον κύκλο ονομάζεται κλειστός μοναδιαίος δίσκος.

Κάποιος μπορεί επίσης να χρησιμοποιήσει άλλες έννοιες της «απόστασης» για να ορίσει άλλους «μοναδιαίους κύκλους», όπως τον κύκλο του Ρίμαν.

Στο μιγαδικό επίπεδο

Κινούμενο σχέδιο του μοναδιαίου κύκλου χρησιμοποιώντας γωνίες

Στο μιγαδικό επίπεδο, οι αριθμοί μοναδιαίου μέτρου ονομάζονται μοναδιαίοι μιγαδικοί αριθμοί. Αυτό είναι το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Πρότυπο:Mvar που ικανοποιούν την εξίσωση $|z|=1.$ Όταν χωριστεί στο πραγματικό και φανταστικό μέρος το Πρότυπο:Mvar, δηλαδή $z=x+iy,$ τότε ισχύει η παρακάτω συνθήκη: $|z{|}^2=z\overline{z}=x^2+y^2=1.$

Ο μιγαδικός μοναδιαίος κύκλος μπορεί να παραμετροποιηθεί με μια γωνία $\theta$ που σχηματίζεται με τον θετικό πραγματικό άξονα, χρησιμοποιώντας τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση:$z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$ (Βλέπε Τύπος του Όιλερ.)

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις στον μοναδιαίο κύκλο

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνημίτονο και ημίτονο της γωνίας Πρότυπο:Math μπορούν να οριστούν στον μοναδιαίο κύκλο ως εξής: Αν Πρότυπο:Math είναι ένα σημείο του μοναδιαίου κύκλου και αν η ακτίνα από την αρχή Πρότυπο:Math έως το σημείο Πρότυπο:Math σχηματίζει μια γωνία Πρότυπο:Math με τον θετικό ημιάξονα Πρότυπο:Math, (όπου η αριστερόστροφη κατεύθυνση είναι θετική), τότε

$$\cos \theta =x\text{and}\sin \theta =y.$$

Έτσι, η εξίσωση Πρότυπο:Math δίνει τη σχέση

$${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1.$$

Ο μοναδιαίος κύκλος δείχνει επίσης ότι το ημίτονο και το συνημίτονο είναι περιοδικές συναρτήσεις, με τις ταυτότητες

$$\cos \theta =\cos (2\pi k+\theta )$$

να ισχύουν για κάθε ακέραιο Πρότυπο:Math.

Ημιτονοειδής συνάρτηση στον μοναδιαίο κύκλο (πάνω) και η γραφική της παράσταση (κάτω)

Τα τρίγωνα που κατασκευάζονται στον μοναδιαίο κύκλο μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να απεικονίσουν την περιοδικότητα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αρχικά, κατασκευάζουμε μια ακτίνα Πρότυπο:Math από την αρχή Πρότυπο:Math έως ένα σημείο Πρότυπο:Math στον μοναδιαίο κύκλο, έτσι ώστε να σχηματίζεται με τον θετικό ημιάξονα x μια γωνία Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math. Στη συνέχεια, θεωρούμε το σημείο Πρότυπο:Math και τα ευθύγραμμα τμήματα Πρότυπο:Math. Το αποτέλεσμα είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math. Επειδή το Πρότυπο:Math έχει μήκος Πρότυπο:Math, το Πρότυπο:Math έχει μήκος Πρότυπο:Math και το Πρότυπο:Math έχει μήκος 1 ως ακτίνα του μοναδιαίου κύκλου, Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Έχοντας καθορίσει αυτές τις σχέσεις, ας πάρουμε μια άλλη ακτίνα Πρότυπο:Math από την αρχή Πρότυπο:Math έως ένα σημείο Πρότυπο:Math στον μοναδιαίο κύκλο, έτσι ώστε να σχηματίζεται η ίδια γωνία t με τον αρνητικό ημιάξονα x. Στη συνέχεια, θεωρούμε το σημείο Πρότυπο:Math και τα ευθύγραμμα τμήματα Πρότυπο:Math. Το αποτέλεσμα είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο Πρότυπο:Math με Πρότυπο:Math. Φαίνεται επομένως ότι, επειδή Πρότυπο:Math, το σημείο Πρότυπο:Math έχει συντεταγμένες Πρότυπο:Math και το σημείο Πρότυπο:Math έχει συντεταγμένες Πρότυπο:Math. Το συμπέρασμα είναι ότι, εφόσον το σημείο Πρότυπο:Math είναι το ίδιο με το Πρότυπο:Math και το σημείο Πρότυπο:Math είναι το ίδιο με το Πρότυπο:Math, ισχύει ότι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Μπορεί να συναχθεί με παρόμοιο τρόπο ότι Πρότυπο:Math, αφού Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Μια απλή επίδειξη των παραπάνω μπορεί να φανεί στην ισότητα Πρότυπο:Math.

Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις με γωνία Πρότυπο:Math μπορούν να κατασκευαστούν γεωμετρικά, χρησιμοποιώντας έναν μοναδιαίο κύκλο με κέντρο το O.

Όταν εργαζόμαστε με ορθογώνια τρίγωνα, το ημίτονο, το συνημίτονο και άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν νόημα μόνο για γωνίες μεγαλύτερες του μηδενός και μικρότερες από Πρότυπο:Sfrac. Ωστόσο, όταν ορίζονται με τον μοναδιαίο κύκλο, αυτές οι συναρτήσεις παράγουν τιμές για οποιοδήποτε γωνία με πραγματική τιμή – ακόμη και για γωνίες μεγαλύτερες από 2Πρότυπο:Pi. Για την ακρίβεια, και οι έξι γνωστές τριγωνομετρικές συναρτήσεις – ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, τέμνουσα και συντέμνουσα – μπορούν να οριστούν γεωμετρικά χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο, όπως φαίνεται δεξιά.

Χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο, μπορούμε από οποιαδήποτε τριγωνομετρική συνάρτηση να υπολογίσουμε εύκολα με το χέρι και γωνίες που δεν έχουμε επισημάνει χρησιμοποιώντας τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς γωνιών.

Ο μοναδιαίος κύκλος, που δείχνει τις συντεταγμένες ορισμένων σημείων

Δείτε επίσης

• Μέτρηση γωνίας
• Κύκλος του Ρίμαν
• Ακτίνιο
• Μοναδιαίος δίσκος
• Μοναδιαία σφαίρα
• Μοναδιαία υπερβολή
• Μοναδιαίο τετράγωνο
• Στροφή (γωνία)