Πίνακας περιστροφής

Αρχείο:Περιστροφή σημείου.svg

Περιστροφή του σημείου $𝐩$ αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων $(0,0)$ κατά γωνία $\theta$.

Στη γραμμική άλγεβρα ο πίνακας περιστροφής είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραμμική απεικόνιση της περιστροφής ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία $\theta$, ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος μεΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$,

όπου $\sin \theta$ είναι το ημίτονο και $\cos \theta$ το συνημίτονο της γωνίας $\theta$.

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα γραφικά υπολογιστών,Πρότυπο:R την ρομποτική,Πρότυπο:Rp την μηχανική και σε άλλες επιστήμες.

Στις δύο διαστάσεις

Τύπος

Αρχείο:Περιστροφή σημείου απόδειξη.svg

Περιστροφή του σημείου $𝐩=(x,y)$ αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων $(0,0)$ κατά γωνία $\theta$, ώστε να πάρουμε το ${𝐩}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$. Η γωνία $\varphi$ είναι η γωνία του $𝐩$ με την αρχή των αξόνων και $\ell$ είναι το μήκος του $𝐩$ (και του ${𝐩}^{\prime }$).

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία $\theta$ αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

Απόδειξη

Θεωρούμε ένα σημείο $𝐩=(x,y)$ στο επίπεδο. Έστω $\ell =|𝐩|=\sqrt{x^2+y^2}$ η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και $\varphi$ η γωνία μεταξύ του $𝐩$ και του άξονα xx'. Τότε $x=\ell \cdot \cos \varphi$ και $y=\ell \cdot \sin \varphi$.

Έστω ${𝐩}^{\prime }=(x^{\prime },y^{\prime })$ το σημείο $𝐩$ περιεστρεμμένο κατά γωνία $\theta$ αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του ${𝐩}^{\prime }$ με τον xx' είναι $\varphi +\theta$ και το μήκος του είναι $|{𝐩}^{\prime }|=|𝐩|=\ell$. Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\ell \cdot \cos (\varphi +\theta )\\ & =\ell \cdot \cos \varphi \cos \theta -\ell \cdot \sin \varphi \sin \theta \\ & =(\ell \cdot \cos \varphi )\cos \theta -(\ell \cdot \sin \varphi )\sin \theta \\ & =x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta ,\end{array}$

και

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }& =\ell \cdot \sin (\varphi +\theta )\\ & =\ell \cdot \sin \varphi \cos \theta +\ell \cdot \cos \varphi \sin \theta \\ & =(\ell \cdot \sin \varphi )\cos \theta +(\ell \cdot \cos \varphi )\sin \theta \\ & =y\cdot \cos \theta +x\cdot \sin \theta .\end{array}$

Συνεπώς, ισχύει ότι

${𝐩}^{\prime }=\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cdot \cos \theta -y\cdot \sin \theta \\ x\cdot \sin \theta +y\cdot \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=R(\theta )\cdot 𝐩.$

Παραδείγματα

• Περιστροφή του $(1,0)$ κατά γωνία $\theta$ μας δίνει το σημείο $(\cos \theta ,\sin \theta )$, που είναι σημείο του μοναδιαίου κύκλου. Αυτό δίνεται και από τον τύπο

$R(\theta )\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right].$

• Η περιστροφή κατά $90^o$ αντιστοιχεί στην

$R(90^o)\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (90^o)& -\sin (90^o)\\ \sin (90^o)& \cos (90^o)\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right].$

• Η περιστροφή του σημείου $(0.3,1.1)$ κατά γωνία $53^o$ δίνεται από τον τύπο

$R(53^o)\cdot \left[\begin{array}{c}0.3\\ 1.1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos (53^o)& -\sin (53^o)\\ \sin (53^o)& \cos (53^o)\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0.3\\ 1.1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0.601..& -0.798..\\ 0.798..& 0.601..\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0.3\\ 1.1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.601..\cdot 0.3-0.798..\cdot 1.1\\ 0.798..\cdot 0.3+0.601..\cdot 1.1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.69..\\ \phantom{-}0.90..\end{array}\right]$.

Ιδιότητες

• Ο πίνακας $R(\theta )$ είναι αντιστρέψιμος, με αντίστροφο τον $R(-\theta )$. Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.

• Η Ορίζουσα του πίνακα $|R(\theta )|=1$.

• Το γινόμενο δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες $\theta$ και $\varphi$ είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία $\theta +\varphi$, δηλαδή $R(\theta )\cdot R(\varphi )=R(\theta +\varphi )$.

Στις τρεις διαστάσεις

Περιστροφή γύρω από τους άξονες

Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία $\theta$ γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:Πρότυπο:RpΠρότυπο:R

$R_z(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right].$

Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:

$R_x(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$ και $R_y(\theta )=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & 0& -\sin \theta \\ 0& 1& 0\\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{array}\right].$

Παραπομπές

Πρότυπο:Μαθηματικά-επέκταση Πρότυπο:Authority control Πρότυπο:Portal bar