Προσεταιριστική ιδιότητα

Στα μαθηματικά, η προσεταιριστική ιδιότητα είναι μία ιδιότητα που ικανοποιεί μία δυαδική πράξη, που λέει ότι η σειρά με την οποία εφαρμόζεται η πράξη δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα. Η πιο γνωστή τέτοια πράξη είναι η πρόσθεση στους φυσικούς αριθμούς, όπου για κάθε $x,y,z\in \mathbb{N}$, ισχύει ότι

$(x+y)+z=x+(y+z)$.

Για παράδειγμα, οι παρενθέσεις στις παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν το τελικό αποτέλεσμα:

(5+2)+1 = 7 + 1 = 8

5+(2+1) = 5 + 3 = 8

Η ισότητα αυτή δεν εξαρτάται από τις συγκεκριμένες τιμές 5, 2 και 1 του παραδείγματος, αλλά ισχύει για όλους τους φυσικούς αριθμούς (και πιο γενικά για όλους τους πραγματικούς αριθμούς). Επομένως, λέμε ότι "η πρόσθεση πραγματικών αριθμών έχει την προσεταιριστική ιδιότητα". Αντίστοιχα, και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα, αλλά όχι η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη.

Πιο γενικά, για ένα σύνολο $S$ μία δυαδική πράξη $\oplus :S\times S\to S$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα αν για κάθε στοιχεία $x,y,z\in S$ ισχύει ότι

$(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$.

Παραδείγματα

• Στους φυσικούς, τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς, οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού ικανοποιούν την ιδιότητα αυτή.
• Στην θεωρία αριθμών, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης καθώς και το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών ικανοποιούν την προσεταιρτική ιδιότητα.
• Στην γραμμική άλγεβρα, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.
• Σε κάθε ομάδα $(G,\cdot )$, η δυαδική της πράξη $\cdot$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
• H συνέλιξη $f*g$ δύο συναρτήσεων $f$ και $g$ ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα.
• Σε κάθε διατεταγμένο σύνολο $S$, η πράξη του μέγιστου $\max$ και του ελάχιστου $\min$ ικανοποιούν την προσεταιριστική ιδιότητα.

Αντιπαραδείγματα

• Η διαίρεση δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,

$(1000/20)/5=10$, ενώ $1000/(20/5)=250$.

• Η ύψωση σε δύναμη δεν ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για παράδειγμα,

$(2^3{)}^4=2^{12}$, ενώ $2^{(3^4)}=2^{81}$.

Αποδοτικότητα

Πρακτικά αυτό εξυπηρετεί μερικές φορές π.χ. για να προσθέσουμε νοητά τους αριθμούς 5 + 4 + 5 + 10 + 2 με μεγαλύτερη ευκολία. Μπορούμε να σκεφτούμε «5 συν 5 συν 10 ίσον είκοσι» και «4 συν 2 ίσον έξι» επομένως το σύνολο είναι είκοσι έξι, αντί να μπλεχτούμε με πράξεις όπως 5 συν 4 ίσον 9 συν 5 ίσον 14 κλπ.

Στην πληροφορική, κάποιοι αλγόριθμοι εκμεταλλεύονται την προσεταιριστική ιδιότητα και αλλάζουν την σειρά των πράξεων ώστε να γίνει πιο αποτελεσματικά η εκτέλεσή τους. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι ο αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό αλληλουχίας πινάκων.

Δείτε επίσης

• Αντιμεταθετική ιδιότητα
• Επιμεριστική ιδιότητα