Πρωτεύουσα τιμή Κωσύ

Στα μαθηματικά, η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ^[1]^[2], η οποία πήρε το όνομά της από τον Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι μια μέθοδος για την απόδοση τιμών σε ορισμένα καταχρηστικά ολοκληρώματα που διαφορετικά θα ήταν απροσδιόριστα. Στη μέθοδο αυτή, μια ιδιομορφία σε ένα ολοκληρωτικό διάστημα αποφεύγεται με τον περιορισμό του ολοκληρωτικού διαστήματος στη μη ιδιομορφική περιοχή.

Ορισμός

Ανάλογα με το είδος της ιδιομορφίας στο ολοκλήρωμα Πρότυπο:Mvar, η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ ορίζεται σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Για μια ιδιομορφία σε έναν πεπερασμένο αριθμό Πρότυπο:Mvar Πρότυπο:Defn

Πρότυπο:Term Πρότυπο:Defn Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι απαραίτητο να αντιμετωπιστούν ταυτόχρονα ιδιομορφίες τόσο σε πεπερασμένο αριθμό Πρότυπο:Mvar όσο και στο άπειρο. Αυτό γίνεται συνήθως με ένα όριο της μορφής

\lim_{η \to 0^{+}} \lim_{ε \to 0^{+}} [\int_{b - \frac{1}{η}}^{b - ε} f (x) d x + \int_{b + ε}^{b + \frac{1}{η}} f (x) d x] .

Στις περιπτώσεις όπου το ολοκλήρωμα μπορεί να χωριστεί σε δύο ανεξάρτητα, πεπερασμένα όρια,

\lim_{ε \to 0^{+}} | \int_{a}^{b - ε} f (x) d x | < \infty

και

\lim_{η \to 0^{+}} | \int_{b + η}^{c} f (x) d x | < \infty,

τότε η συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη με τη συνήθη έννοια.Το αποτέλεσμα της διαδικασίας για την κύρια τιμή είναι το ίδιο με το συνηθισμένο ολοκλήρωμα- εφόσον δεν ταιριάζει πλέον με τον ορισμό, τεχνικά δεν είναι «κύρια τιμή». Η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ μπορεί επίσης να οριστεί ως Μέθοδος των ολοκληρωμάτων περιγράμματος μιας μιγαδικής αξίας συνάρτησης :

f (z) : z = x + i y,

με

x, y \in ℝ,

με πόλο σε ένα περίγραμμα Πρότυπο:Mvar. Ορίζουμε ως :

C (ε)

το ίδιο περίγραμμα, όπου το τμήμα εντός του δίσκου ακτίνας Πρότυπο:Mvar γύρω από τον πόλο έχει αφαιρεθεί. Εφόσον η συνάρτηση

f (z)

είναι ολοκληρώσιμη πάνω στο

C (ε)

όσο μικρό κι αν γίνεται το Πρότυπο:Mvar, τότε η πρωτεύουσα τιμή Κωσύ είναι το όριο:^[3]

p . v . \int_{C} f (z) d z = \lim_{ε \to 0^{+}} \int_{C (ε)} f (z) d z .

Στην περίπτωση των συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά Λεμπέσγκ, δηλαδή των συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες ως προς την απόλυτη τιμή, οι ορισμοί αυτοί συμπίπτουν με τον τυπικό ορισμό του ολοκληρώματος.

Αν η συνάρτηση $f (z)$ είναι «μερομορφική», το θεώρημα Σοκότσκι-Πλέμελ συσχετίζει την κύρια τιμή του ολοκληρώματος πάνω στο Πρότυπο:Mvar με τη μέση τιμή των ολοκληρωμάτων με το περίγραμμα μετατοπισμένο ελαφρώς πάνω και κάτω, έτσι ώστε το θεώρημα υπολοίπων να μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτά τα ολοκληρώματα.^[4]

Θεωρία κατανομής

Έστω $C_{c}^{\infty} (ℝ)$ το σύνολο των συναρτήσεων εξομάλυνσης, δηλαδή ο χώρος των λείων συναρτήσεων με συμπαγή υποστήριξη στην πραγματική γραμμή $ℝ$ . Τότε ο χάρτης

p . v . (\frac{1}{x}) : C_{c}^{\infty} (ℝ) \to ℂ

που ορίζεται μέσω της πρωτεύουσας τιμής Κωσύ ως

[p . v . (\frac{1}{x})] (u) = \lim_{ε \to 0^{+}} \int_{ℝ ∖ [- ε, ε]} \frac{u (x)}{x} d x = \lim_{ε \to 0^{+}} \int_{ε}^{+ \infty} \frac{u (x) - u (- x)}{x} d x for u \in C_{c}^{\infty} (ℝ)

είναι μια κατανομή. Ο ίδιος ο χάρτης μπορεί μερικές φορές να ονομάζεται κύρια τιμή (εξ ου και ο συμβολισμός p.v.). Αυτή η κατανομή εμφανίζεται, για παράδειγμα, στο μετασχηματισμό Φουριέ της συνάρτησης προσήμου και της συνάρτησης βήματος Χεβιζίδη.

Καλά ορισμένη κατανομή

Για την απόδειξη της ύπαρξης του ορίου

\lim_{ε \to 0^{+}} \int_{ε}^{+ \infty} \frac{u (x) - u (- x)}{x} d x

για μια συνάρτηση Σβαρτς $u (x)$ , παρατηρήστε πρώτα ότι $\frac{u (x) - u (- x)}{x}$ είναι συνεχής στο $[0, \infty),$ καθώς

\lim_{x ↘ 0} [u (x) - u (- x)] = 0

και ως εκ τούτου

\lim_{x ↘ 0} \frac{u (x) - u (- x)}{x} = \lim_{x ↘ 0} \frac{u^{'} (x) + u^{'} (- x)}{1} = 2 u^{'} (0),

αφού η $u^{'} (x)$ είναι συνεχής και ισχύει ο κανόνας του L'Hopital^[5].

Επομένως, $\int_{0}^{1} \frac{u (x) - u (- x)}{x} d x$ υπάρχει και εφαρμόζοντας το θεώρημα της μέσης τιμής στο $u (x) - u (- x),$ έχουμε:

| \int_{0}^{1} \frac{u (x) - u (- x)}{x} d x | \leq \int_{0}^{1} \frac{| u (x) - u (- x) |}{x} d x \leq \int_{0}^{1} \frac{2 x}{x} \sup_{x \in ℝ} | u^{'} (x) | d x \leq 2 \sup_{x \in ℝ} | u^{'} (x) | .

Και επιπλέον:

| \int_{1}^{\infty} \frac{u (x) - u (- x)}{x} d x | \leq 2 \sup_{x \in ℝ} | x \cdot u (x) | \cdot \int_{1}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} = 2 \sup_{x \in ℝ} | x \cdot u (x) |,

παρατηρούμε ότι ο χάρτης

p.v. (\frac{1}{x}) : C_{c}^{\infty} (ℝ) \to ℂ

περιορίζεται από τις συνήθεις ημιμορφές για τις συναρτήσεις Σβαρτς $u$ . Επομένως, αυτός ο χάρτης ορίζει, καθώς είναι προφανώς γραμμικός, μια συνεχή συνάρτηση στο χώρο Σβαρτς και επομένως μια μετριασμένη κατανομή.

Να σημειωθεί ότι η απόδειξη χρειάζεται απλώς το $u$ να είναι συνεχώς διαφορίσιμο σε μια γειτονιά του 0 και το $x u$ να είναι περιορισμένο προς το άπειρο. Η πρωτεύουσα τιμή επομένως ορίζεται με ακόμη πιο αδύναμες υποθέσεις όπως $u$ ολοκληρώσιμη με συμπαγή υποστήριξη και διαφορίσιμη στο 0.

Πιο γενικοί ορισμοί

Η πρωτεύουσα τιμή είναι η αντίστροφη κατανομή της συνάρτησης $x$ και είναι σχεδόν η μόνη κατανομή με αυτή την ιδιότητα:

x f = 1 \Leftrightarrow \exists K : f = p . v . (\frac{1}{x}) + K δ,

όπου $K$ είναι μια σταθερά και $δ$ η κατανομή Ντιράκ.

Με μια ευρύτερη έννοια, η πρωτεύουσα τιμή μπορεί να οριστεί για μια ευρεία κατηγορία μοναδιαίων ολοκληρωτικών πυρήνων στον ευκλείδειο χώρο $ℝ^{n}$ . Αν ο $K$ έχει μια απομονωμένη ιδιομορφία στην αρχή, αλλά είναι κατά τα άλλα μια «ωραία» συνάρτηση, τότε η κατανομή της κύριας τιμής ορίζεται σε συμπαγώς υποστηριζόμενες ομαλές συναρτήσεις ως εξής

[p . v . (K)] (f) = \lim_{ε \to 0} \int_{ℝ^{n} ∖ B_{ε} (0)} f (x) K (x) d x .

Ένα τέτοιο όριο μπορεί να μην είναι καλά ορισμένο ή, αν είναι καλά ορισμένο, μπορεί να μην ορίζει απαραίτητα μια κατανομή. Είναι, ωστόσο, καλά ορισμένο αν $K$ είναι μια συνεχής ομογενής συνάρτηση βαθμού $- n$ της οποίας το ολοκλήρωμα πάνω σε οποιαδήποτε σφαίρα με κέντρο την αρχή εξαφανίζεται. Αυτό συμβαίνει, παραδείγματος χάριν, με τους μετασχηματισμούς του Ρις.