Πυραμίδα (γεωμετρία)

Παράδειγμα πυραμίδας με τετραγωνική βάση

Η πυραμίδα είναι γεωμετρικό στερεό. Είναι πολύεδρο που σχηματίζεται με ένα κανονικό ν-γωνο ως βάση και ν τριγωνικές πλευρές που συνδέονται σε μια κορυφή. Η πιο γνωστή μορφή πυραμίδας (και αυτή που εννοείται συνήθως) είναι αυτή με πέντε πλευρές (επιφάνειες), και οκτώ ακμές, με τετράγωνο ως βάση και τέσσερα ισοσκελή και ίσα μεταξύ τους τρίγωνα ως πλευρές.

Ο όγκος μιας πυραμίδας δίνεται από τον τύπο $V=\frac{1}{3}Av$, όπου Α το εμβαδό της βάσης και υ το ύψος από τη βάση στην κορυφή.

Ένα από τα Πλατωνικά στερεά, το τετράεδρο, είναι πυραμίδα με όλες τις πλευρές της ισόπλευρα τρίγωνα.

Λόγω του σχήματός της η πυραμίδα έχει κάποιες ασυνήθιστες ιδιότητες όπως, για παράδειγμα, για να εμφανίζει σκιά, η πηγή του φωτός θα πρέπει να είναι αρκετά χαμηλά (συγκριτικά με τις διαστάσεις της πυραμίδας).

Ετυμολογία

Η λέξη «πυραμίδα» προέρχεται από την αρχαιοελληνική λέξη «πυραμίς» (πυράμις), η οποία αναφερόταν σε μια δομή σε σχήμα πυραμίδας και σε ένα είδος κέικ σιταριούΠρότυπο:R]. Ο όρος έχει τις ρίζες του στα ελληνικά «πυρ» (πυρ, 'φωτιά') και «άμις» (άμις, 'δοχείο'), τονίζοντας την αιχμηρή, φλογερή εμφάνιση του σχήματος.

Στη Μεσαιωνική ελληνική γλώσσα, ο όρος εξελίχθηκε σε «πυραμίδα» (pyramída), συνεχίζοντας να δηλώνει τις πυραμιδικές κατασκευές. Ο όρος «πυραμίδα» επηρέασε την εξέλιξη της λέξης σε «πυραμίδα» στα αγγλικά και σε άλλες γλώσσες.

Ορισμός

Μέρη μιας πυραμίδας

Η πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που μπορεί να σχηματιστεί με τη σύνδεση μιας πολυγωνικής βάσης και ενός σημείου, που ονομάζεται κορυφή. Κάθε ακμή της βάσης και της κορυφής σχηματίζουν ένα ισοσκελές τρίγωνο, που ονομάζεται πλευρική όψη.Πρότυπο:R Οι ακμές που συνδέονται από τις κορυφές της πολυγωνικής βάσης με την κορυφή ονομάζονται πλευρικές ακμέςΠρότυπο:R Ιστορικά, ο ορισμός της πυραμίδας έχει περιγραφεί από πολλούς μαθηματικούς στην αρχαιότητα. Ο Ευκλείδης στα Στοιχεία του όρισε την πυραμίδα ως ένα στερεό σχήμα, κατασκευασμένο από ένα επίπεδο σε ένα σημείο. Το πλαίσιο του ορισμού του ήταν ασαφές, μέχρι που ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς την όρισε ως το σχήμα με την τοποθέτηση του σημείου μαζί με μια πολυγωνική βάσηΠρότυπο:R.

Ως πρισματοειδές ορίζεται ένα πολύεδρο όπου οι κορυφές του βρίσκονται σε δύο παράλληλα επίπεδα, ενώ οι πλευρικές του επιφάνειες είναι τρίγωνα, τραπέζια και παραλληλόγραμμαΠρότυπο:R. Οι πυραμίδες κατατάσσονται στα πρισματοειδήΠρότυπο:R.

Ταξινόμηση και τύποι

Η ορθή πυραμίδα είναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση περιγράφεται γύρω από τον κύκλο και το ύψος της πυραμίδας συναντά το κέντρο του κύκλουΠρότυπο:R. Αυτή η πυραμίδα μπορεί να ταξινομηθεί με βάση την κανονικότητα των βάσεων της. Μια πυραμίδα με βάση ένα κανονικό πολύγωνο ονομάζεται κανονική πυραμίδαΠρότυπο:R. Για την πυραμίδα με κανονική βάση με n όψεις, έχει Πρότυπο:Math κορυφές, Πρότυπο:Math όψεις και Πρότυπο:Math ακμές. Πρότυπο:R Μια τέτοια πυραμίδα έχει ισοσκελή τρίγωνα ως όψεις, με τη συμμετρία της να είναι Πρότυπο:Math, μια συμμετρία τάξης Πρότυπο:Math: οι πυραμίδες είναι συμμετρικές καθώς περιστρέφονται γύρω από τον άξονα συμμετρίας τους (μια ευθεία που διέρχεται από την κορυφή και το κεντροειδές της βάσης), και είναι κατοπτρικά συμμετρικές σε σχέση με οποιοδήποτε κάθετο επίπεδο που διέρχεται από μια διχοτόμο της βάσης. Πρότυπο:R Ενδεικτικά παραδείγματα είναι η τετραγωνική πυραμίδα και η πενταγωνική πυραμίδα, μια πυραμίδα με τέσσερις και πέντε τριγωνικές επιφάνειες με βάση τετράγωνο και πεντάγωνο, αντίστοιχα- ταξινομούνται ως το πρώτο και το δεύτερο στερεό Τζόνσον αν οι κανονικές τους επιφάνειες και ακμές που έχουν ίσο μήκος και οι συμμετρίες τους είναι Πρότυπο:Math τάξης 8 και Πρότυπο:Math τάξης 10, αντίστοιχα. Πρότυπο:R . Ένα τετράεδρο ή τριγωνική πυραμίδα είναι ένα παράδειγμα που έχει τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα, με όλες τις ακμές ίσου μήκους, και ένα από αυτά θεωρείται ως βάση. Επειδή οι επιφάνειες είναι κανονικές, αποτελεί παράδειγμα πλατωνικού στερεού και δέλταεδρου και έχει τετραεδρική συμμετρία Πρότυπο:R. Μια πυραμίδα με τη βάση της ως κύκλο είναι γνωστή ως κώνος Πρότυπο:R Οι πυραμίδες έχουν την ιδιότητα του αυτο-δυϊκού, δηλαδή οι δυϊκές τους είναι ίδιες με τις κορυφές που αντιστοιχούν στις ακμές και αντίστροφαΠρότυπο:R. Ο σκελετός τους μπορεί να αναπαρασταθεί ως γράφημα τροχούΠρότυπο:R

Πρότυπο:Multiple image Πρότυπο:AnchorΜια ορθή πυραμίδα μπορεί επίσης να έχει βάση με ακανόνιστο πολύγωνο. παραδείγματος χάριν, οι πυραμίδες με ορθογώνιο και ρόμβο ως βάσεις. Αυτές οι δύο πυραμίδες έχουν συμμετρία Πρότυπο:Math τάξης 4.

Ο τύπος των πυραμίδων μπορεί να προκύψει με πολλούς τρόπους. Η κανονικότητα της βάσης μιας πυραμίδας μπορεί να ταξινομηθεί με βάση τον τύπο του πολυγώνου, και ένα παράδειγμα είναι η πυραμίδα με κανονικό πολύγωνο αστέρι ως βάση, γνωστή ως πυραμίδα αστέρι Πρότυπο:R. Η πυραμίδα που αποκόπτεται από ένα επίπεδο ονομάζεται αποκομμένη πυραμίδα- αν το επίπεδο αποκοπής είναι παράλληλο με τη βάση μιας πυραμίδας, ονομάζεται "κόλουρη".

Μέτρηση

Το εμβαδόν της επιφάνειας είναι το συνολικό εμβαδόν των επιφανειών κάθε πολυέδρου. Στην περίπτωση μιας πυραμίδας, το εμβαδόν της επιφάνειάς της είναι το άθροισμα του εμβαδού των τριγώνων και του εμβαδού της πολυγωνικής βάσης.

Ο όγκος μιας πυραμίδας είναι το γινόμενο του ενός τρίτου του εμβαδού της βάσης και του ύψους. Δεδομένου ότι $B$ είναι το εμβαδόν της βάσης και $h$ είναι το ύψος μιας πυραμίδας. Μαθηματικά, ο όγκος μιας πυραμίδας είναι:Πρότυπο:R

$V=\frac{1}{3}Bh.$

Ο όγκος μιας πυραμίδας καταγράφηκε ήδη στην αρχαία Αίγυπτο, όπου υπολόγισαν τον όγκο ενός τετραγωνικού κόλουρης, γεγονός που υποδηλώνει ότι γνώριζαν τον όγκο μιας τετραγωνικής πυραμίδαςΠρότυπο:R. Ο τύπος του όγκου για μια γενική πυραμίδα ανακαλύφθηκε από τον Ινδό μαθηματικό Αριαμπχάτα, όπου ανέφερε στο έργο του Αριαμπχάτιγια ότι ο όγκος μιας πυραμίδας είναι λανθασμένα το μισό γινόμενο της βάσης της περιοχής και του ύψους Πρότυπο:R.

Γενίκευση

Υπερπυραμίδα 4 διαστάσεων με βάση έναν κύβο

Η υπερπυραμίδα είναι η γενίκευση της πυραμίδας στον Πρότυπο:Nowrapδιάστατο χώρο. Στην περίπτωση της πυραμίδας, συνδέουμε όλες τις κορυφές της βάσης, ένα πολύγωνο σε ένα επίπεδο, με ένα σημείο εκτός του επιπέδου, το οποίο είναι η κορυφή. Το ύψος της πυραμίδας είναι η απόσταση της κορυφής από το επίπεδο. Αυτή η κατασκευή γενικεύεται σε n διαστάσεις. Η βάση γίνεται ένα Πρότυπο:Nowrap-πολυτόπιο σε ένα Πρότυπο:Nowrapδιάστατο υπερεπίπεδο. Ένα σημείο που ονομάζεται κορυφή βρίσκεται έξω από το υπερεπίπεδο και συνδέεται με όλες τις κορυφές του πολυτόπου και η απόσταση της κορυφής από το υπερεπίπεδο ονομάζεται ύψος Πρότυπο:R.

Ο Πρότυπο:Nowrapδιάστατος όγκος μιας Πρότυπο:Nowrapδιάστατης υπερπυραμίδας μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

$V_n=\frac{A\cdot h}{n}.$

Εδώ Πρότυπο:Math υποδηλώνει τον Πρότυπο:Nowrapδιαστατικό όγκο της υπερπυραμίδας.Πρότυπο:Math συμβολίζει τον Πρότυπο:Nowrap διαστατικό όγκο της βάσης και Πρότυπο:Math το ύψος, δηλαδή την απόσταση μεταξύ της κορυφής και του Πρότυπο:Nowrapδιάστατο υπερεπίπεδο που περιέχει τη βάση Πρότυπο:Math. Πρότυπο:R

Δείτε επίσης

• Πυραμίδες της Γκίζα
• Πυραμίδα του Ελληνικού