Συνέλιξη

Στα μαθηματικά, συνέλιξη είναι μία πράξη μεταξύ δύο συναρτήσεων που δίνει μία καινούργια συνάρτηση.

Για τις διακριτές συναρτήσεις $f,g:\mathbb{Z}\to ℝ$ με πεδίο ορισμού τους ακεραίους, η συνέλιξη των $f$ και $g$, συμβολίζεται με $f\ast g$ και ορίζεται ως

$(f\ast g)(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(k)\cdot g(x-k),$ για κάθε $x\in \mathbb{Z}$.

Για τις συνεχείς συναρτήσεις $f,g:ℝ\to ℝ$ με πεδίο ορισμού τους πραγματικούς, η συνέλιξη των $f$ και $g$, συμβολίζεται με $f\ast g$ και ορίζεται ως

$(f\ast g)(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(k)\cdot g(x-k)dk,$ για κάθε $x\in ℝ$.

Ιδιότητες της συνέλιξης

Η συνέλιξη έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον πολλαπλασιασμό:

• Είναι προσεταιριστική, δηλαδή για κάθε τρεις συναρτήσεις $f,g,h$, ισχύει ότι:

$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h).$

• Είναι αντιμεταθετική, δηλαδή για κάθε δύο συναρτήσεις $f,g$, ισχύει ότι:

$f\ast g=g\ast f.$

• Είναι επιμεριστική ως προς την πρόσθεση, δηλαδή για κάθε τρεις συναρτήσεις $f,g,h$, ισχύει ότι:

$f\ast (g+h)=f\ast g+f\ast h.$

• Έχει ένα ουδέτερο στοιχείο, την γενικευμένη συνάρτηση $\delta (x)$ (συνάρτηση του Ντιράκ), η οποία μηδενίζεται για κάθε $x$, εκτός από το σημείο μηδέν όπου τείνει στο θετικό άπειρο:

$f\ast \delta =\delta \ast f=f.$

Εφαρμογές

Κατανομή αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών

Έστω δύο ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ με διακριτές κατανομές $p_X$ και $p_Y$. Τότε η κατανομή $p_Z$ του αθροίσματός τους $Z=X+Y$ είναι ίση με $p_Z=p_X\ast p_Y$.

$p_Z(z)=\mathrm{Pr}(Z=z)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(X=k,Y=z-k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{Pr}(X=k)\cdot \mathrm{Pr}(Y=z-k)=(p_X\ast p_Y)(z),$

όπου στην δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον νόμο της ολικής πιθανότητας και στην τρίτη ότι οι τυχαίες μεταβλητές $X$ και $Y$ ειναι ανεξάρτητες.