Σφαίρα Μπλοχ

Σφαίρα Μπλοχ

Στην κβαντική μηχανική, η σφαίρα Μπλοχ είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος n επιπέδων.

Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα σημεία του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων σε ένα δισδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.

Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.

To qubit

Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση $\psi$ μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket $|0⟩$ και $|1⟩$˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του $|0⟩$ να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το $\psi$ έχει μια αναπαράσταση ως

$|\psi ⟩=\cos \theta |0⟩+e^{i\varphi }\sin \theta |1⟩=\cos \theta |0⟩+(\cos \varphi +i\sin \varphi )\sin \theta |1⟩$

με

$0\le \theta <\frac{\pi }{2},0\le \varphi <2\pi .$

Εκτός από την περίπτωση όπου $\psi$ είναι ένα από τα διανύσματα ket $|0⟩$ ή $|1⟩$, η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι $\varphi$ και $\theta$ προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου ${ℝ}^3$, δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες $(x,y,z)$ είναι

$\begin{array}{ccc}x& =& \sin 2\theta \times \cos \varphi \\ y& =& \sin 2\theta \times \sin \varphi \\ z& =& \cos 2\theta .\end{array}$

Σε αυτή την αναπαράσταση το $|0⟩$ είναι χαρτογραφημένο μέσα στο $(0,0,1)$ και το $|1⟩$ είναι χαρτογραφημένο μέσα στο $(0,0,-1)$.

Γενίκευση

Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ H_n. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του H_n.

Θεώρημα. Θέτουμε το U(n) να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους n. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του H_n μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο

$\mathrm{U}(n)/(\mathrm{U}(n-1)\times \mathrm{U}(1)).$

Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(n) στο σύνολο των καταστάσεων του H_n. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων g του U(n) τέτοια ώστε g ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων

$\mathrm{U}(n-1)\times \mathrm{U}(1).$

Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.

Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά σε καθαρές καταστάσεις.

Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(n) είναι n². Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης

$A\mapsto e^{iA}$

είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(n). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση n².

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του H_n είναι 2n − 2.

Ουσιαστικά,

$n^2-((n-1{)}^2+1)=2n-2.$

Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2^m.

Συνέπεια. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή m qubit είναι 2^m+1 − 2.

Η γεωμετρία των τελεστών πυκνότητας

Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:

Θεώρημα. Υποθέστε ότι A είναι ένας τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα n επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ₁, ..., μ_k με πολλαπλότητες n₁, ...,n_k. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών V ώστε V A V* = A είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς

$\mathrm{U}(n_1)\times \cdots \times \mathrm{U}(n_k).$

Συγκεκριμένα η τροχιά του A είναι ισομορφική προς

$\mathrm{U}(n)/(\mathrm{U}(n_1)\times \cdots \times \mathrm{U}(n_k)).$

Παραπομπές

• Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum EntanglementΠρότυπο:Dead link", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) σελ.9-16. Πρότυπο:En
• Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Μπλοχ υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.) (Ανακτήθηκε 27 Απριλίου 2011)Πρότυπο:En