Φυσικός λογάριθμος

Γράφημα της εξίσωσης του φυσικού λογαρίθμου. Η συνάρτηση αυξάνει αργά προς το Πρότυπο:Math όσο το Πρότυπο:Math αυξάνει, και πάει αργά προς το Πρότυπο:Math όσο το Πρότυπο:Math πλησιάζει το Πρότυπο:Math («αργά» σε σχέση με οποιονδήποτε νόμο δύναμης του Πρότυπο:Math). Ο Πρότυπο:Math-άξονας είναι μια ασύμπτωτη.

Ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού είναι ο λογάριθμός του x ως προς την βάση Πρότυπο:Mvar, όπου [[e (μαθηματική σταθερά)|Πρότυπο:Mvar]] είναι μια άρρητη και υπερβατική σταθερά περίπου ίση με $2,718281828459$. Ο φυσικός λογάριθμος του Πρότυπο:Math συνήθως γράφεται $\ln x$, ${\log }_{e}x$ ή μερικές φορές όταν η βάση $e$ υπονοείται, απλά $\log x$. Κάποιες φορές για σαφήνεια προστίθενται παρενθέσεις, δίνοντας $\ln (x)$, ${\log }_e(x)$ ή $\log (x)$. Αυτό γίνεται ιδιαίτερα όταν το όρισμα του λογαρίθμου δεν είναι ένα μοναδικό σύμβολο, όπως π.χ. $\ln (x+y)$.

Ο φυσικός λογάριθμος του $x$ είναι η δύναμη στην οποία η σταθερά $e$ πρέπει να υψωθεί για να έχουμε την τιμή $x$. Για παράδειγμα ο $\ln (7.5)=2.0149..$ γιατί $e^{2.0149..}=7.5$. Ο φυσικός λογάριθμος της σταθερά $e$ είναι η μονάδα γιατί $e^1=e$ ενώ ο φυσικός λογάριθμος του 1 είναι το μηδέν $\ln (1)=0$ μιας και $e^0=1$. Ένας φυσικός λογάριθμος μπορεί να οριστεί για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.

$e^{\ln (x)}=x\text{εάν }x>0$

$\ln (e^x)=x.$

$\ln :{ℝ}^{+}\to ℝ.$

Δείτε επίσης

• Εκθετική συνάρτηση