Χώρος γραμμών και χώρος στηλών

Οι γραμμές του πίνακα. Ο χώρος γραμμών αυτού του πίνακα είναι ο διανυσματικός χώρος που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων-γραμμών του.

Οι στήλες ενός πίνακα. Ο χώρος στηλών αυτού του πίνακα είναι ο διανυσματικός χώρος που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων-στηλών του.

Στην γραμμική άλγεβρα, ο χώρος στηλών (ή στηλοχώρος) ενός πίνακα Α είναι ο χώρος που παράγεται από τους γραμμικούς συνδυασμούς των διανυσμάτων στηλών του πίνακα. Ο χώρος στηλών ενός πίνακα είναι η εικόνα της αντίστοιχης γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα Α.

Ας θεωρήσουμε το σώμα $𝔽$ και τον πίνακα $A\in {ℳ}_{m,n}(𝔽)$ m γραμμών και n στηλών, με στοιχεία από το σώμα $𝔽$. Ο χώρος στηλών του $A$ είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του διανυσματικού χώρου ${𝔽}^m$. Η διάσταση του χώρου στηλών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα και είναι μικρότερος ή ίσος από Πρότυπο:Math.

Ο χώρος γραμμών (ή γραμμοχώρος) του πίνακα ορίζεται παρόμοια.

Ο χώρος γραμμών και ο χώρος στηλών ενός πίνακα Πρότυπο:Mvar συμβολίζονται ως $\text{rowsp}(A)$ και $\text{colsp}(A)$ ή ως Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math αντίστοιχα.

Στην ειδική περίπτωση όπου οι συντελεστές του πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί τότε ο χώρος γραμμών και ο χώρος στηλών του πίνακα είναι γραμμικοί υπόχωροι των ${ℝ}^n$ και ${ℝ}^m$ αντίστοιχα. Στη συνέχεια του άρθρου, θεωρούμε πίνακες με συντελεστές πραγματικούς αριθμούς (εκτός αν αναφέρεται διαφορετικά).

Σφαιρική εικόνα

Έστω ότι ο Πρότυπο:Mvar είναι ένας πίνακας με Πρότυπο:Mvar γραμμές και Πρότυπο:Mvar στήλες. Τότε

1. Πρότυπο:Math,
2. Πρότυπο:Math = πλήθος οδηγών μιας οποιασδήποτε κλιμακωτής μορφής του Πρότυπο:Mvar,
3. Πρότυπο:Math = το μεγαλύτερο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του Πρότυπο:Mvar.

Αν κάποιος θεωρήσει τον πίνακα ως ένα γραμμικό μετασχηματισμό από το ${ℝ}^n$ προς το ${ℝ}^m$, τότε ο χώρος στηλών του πίνακα ισούται με την εικόνα (image) αυτού του γραμμικού μετασχηματισμού.

Ο χώρος στηλών ενός πίνακα Πρότυπο:Mvar είναι το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των στηλών του Πρότυπο:Mvar . Εάν $A=[{𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots {𝐯}_n]$, τότε $\text{colsp}(A)=\text{span}\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots {𝐯}_n\}$ .

Όπως αναφέρθηκε στην αρχή του άρθρου, η έννοια του χώρου γραμμών μπορεί να γενικευθεί σε πίνακες με συντελεστές από το σώμα των μιγαδικών αριθμών Πρότυπο:Nowrapή από οποιοδήποτε άλλο σώμα. Διαισθητικά, δεδομένου ενός πίνακα Πρότυπο:Mvar, η δράση του πίνακα Πρότυπο:Mvar σε ένα διάνυσμα Πρότυπο:Math (δηλαδή η πράξη $A\cdot 𝐱$) θα επιστρέψει έναν γραμμικό συνδυασμό των στηλών του Πρότυπο:Mvar σταθμισμένου με τις συντεταγμένες του Πρότυπο:Math ως συντελεστές. Ένας άλλος τρόπος για να το δούμε αυτό είναι ότι η διαδικασία αυτή (1) θα προβάλει πρώτα το Πρότυπο:Math στο χώρο γραμμών του Πρότυπο:Mvar, (2) θα πραγματοποιήσει έναν αναστρέψιμο μετασχηματισμό και (3) θα τοποθετήσει το διάνυσμα που προκύπτει (Πρότυπο:Math) στο χώρο στηλών του Πρότυπο:Mvar. Επομένως, το αποτέλεσμα Πρότυπο:Math πρέπει να βρίσκεται στο χώρο στηλών του Πρότυπο:Mvar.

Παράδειγμα

Δίνεται ένας πίνακας Πρότυπο:Mvar:

$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& 1& 3& 2\\ -1& -2& 1& 0& 5\\ 1& 6& 2& 2& 2\\ 3& 6& 2& 5& 1\end{array}\right]$.

Οι γραμμές του πίνακα θα είναι ${𝐫}_1={\left[\begin{array}{ccccc}2& 4& 1& 3& 2\end{array}\right]}^T$, ${𝐫}_2={\left[\begin{array}{ccccc}-1& -2& 1& 0& 5\end{array}\right]}^T$, ${𝐫}_3={\left[\begin{array}{ccccc}1& 6& 2& 2& 2\end{array}\right]}^T$, ${𝐫}_4={\left[\begin{array}{ccccc}3& 6& 2& 5& 1\end{array}\right]}^T$. Κατά συνέπεια, ο χώρος γραμμών του Πρότυπο:Mvar είναι ο υπόχωρος του ${ℝ}^5$ που παράγεται από τα διανύσματα Πρότυπο:Math . Δεδομένου ότι αυτά τα τέσσερα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, ο χώρος γραμμών του πίνακα είναι 4-διαστάσεων. Επιπλέον, σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να δείξουμε ότι τα Πρότυπο:Math είναι όλα ορθογώνια στο διάνυσμα $𝐧={\left[\begin{array}{c}6,-1,4,-4,0\end{array}\right]}^T$, οπότε ο χώρος γραμμών αποτελείται από όλα τα διανύσματα σε ${ℝ}^5$ που είναι ορθογώνια στο Πρότυπο:Math.

Χώρος Στηλών

Ορισμός

Σε αυτή την παράγραφο δίνεται ο αναλυτικός ορισμός του χώρου στηλών. Θεωρούμε ένα σώμα αριθμών $𝔽$ και τον πίνακα $A\in {ℳ}_{m,n}(𝔽)$ με m γραμμές και n στήλες. Θεωρούμε επίσης τα διανύσματα στηλών του πίνακα τα οποία συμβολίζουμε με Πρότυπο:Math . Ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής:

$c_1{𝐯}_1+c_2{𝐯}_2+\cdots +c_n{𝐯}_n,$

όπου Πρότυπο:Math είναι αυθαίρετοι αριθμοί του $𝔽$. Το σύνολο όλων των πιθανών γραμμικών συνδυασμών των στηλών Πρότυπο:Math ονομάζεται χώρος στηλών του Πρότυπο:Mvar . Δηλαδή, ο χώρος στηλών του Πρότυπο:Mvar είναι ίσος με

$\text{colsp}(A)=span\{{𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n\}$.

Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα Πρότυπο:Mvar μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο του Πρότυπο:Mvar με ένα διάνυσμα στήλης:

$\begin{array}{ccccc}A\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]& =& \left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]& =\left[\begin{array}{ccc}{𝐯}_1& \dots & {𝐯}_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=& c_1{𝐯}_1+\cdots +c_n{𝐯}_n\end{array}$

Επομένως, ο χώρος στηλών του Πρότυπο:Mvar αποτελείται από όλα τα πιθανά γινόμενα $A\cdot 𝐱$, για οποιοδήποτε $x\in {𝔽}^n$. Επομένως, αυτός ο χώρος είναι ταυτόσημος με την εικόνα της αντίστοιχης γραμμικής απεικόνισης που αντιστοιχεί στον πίνακα Πρότυπο:Mvar ($f:{𝔽}^n\to {𝔽}^m:f(𝐱)=A\cdot 𝐱$).

Παράδειγμα

Ας θεωρήσουμε τον πίνακα $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$, τότε τα διανύσματα στήλης είναι Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Ένας γραμμικός συνδυασμός των v ₁ και v ₂ είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής$$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 2c_1\end{array}\right]$$Το σύνολο όλων αυτών των διανυσμάτων (δηλαδή των γραμμικών συνδυασμών των στηλών) είναι ο χώρος στηλών του Πρότυπο:Mvar . Σε αυτήν την περίπτωση, ο χώρος στηλών είναι ακριβώς το σύνολο των διανυσμάτων Πρότυπο:Math τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση Πρότυπο:Math (χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες, αυτό το σύνολο είναι ένα επίπεδο που περνά από την αρχή των αξόνων).

Βάση

Οι στήλες του Πρότυπο:Mvar παράγουν το χώρο στηλών, αλλά ενδέχεται να μην αποτελούν βάση αυτού του χώρου εάν δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Για να βρούμε τη βάση του χώρου στηλών μπορούμε να κάνουμε γραμμοπράξεις ακολουθώντας την μέθοδο απαλοιφής του Gauss στις στήλες του πίνακα. Μπορούμε δηλαδή να εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο απαλοιφής στον ανάστροφο πίνακα $A^T$ (και αυτό γιατί η συνήθης μεθοδολογία απαλοιφής κάνει γραμμοπράξεις στις γραμμές του πίνακα).

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τον πίνακα

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 4\\ 2& 7& 3& 9\\ 1& 5& 3& 1\\ 1& 2& 0& 8\end{array}\right].$

Για να βρούμε τη βάση του χώρου στηλών αυτού του πίνακα εφαρμόζουμε τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss στον ανάστροφο πίνακα (δηλαδή βρίσκουμε τη βάση του χώρου γραμμών του ανάστροφου πίνακα):

$A^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 3& 7& 5& 2\\ 1& 3& 3& 0\\ 4& 9& 1& 8\end{array}\right].$

Με τις συνήθεις γραμμοπράξεις θα έχουμε:$\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 3& 7& 5& 2\\ 1& 3& 3& 0\\ 4& 9& 1& 8\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 1& -3& 4\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& -5& 5\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Όπως φαίνεται από τις γραμμοπράξεις, η πρώτη, η δεύτερη και η τέταρτη στήλη του αρχικού πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητες, ενώ η τρίτη στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των δύο πρώτων (συγκεκριμένα, Πρότυπο:Math). Επομένως, η πρώτη, η δεύτερη και η τέταρτη στήλη του αρχικού πίνακα αποτελούν τη βάση για τον χώρο στηλών:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}3\\ 7\\ 5\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 9\\ 1\\ 8\end{array}\right].$

Εννοείται ότι βάση για το χώρο στηλών αποτελούν και οι στήλες που προέκυψαν στην κλιμακωτή μορφή του πίνακα μετά την διαδικασία απαλοιφής:

$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ -1\end{array}\right].$

Σε πρακτικές εφαρμογές (π.χ., για μεγάλους πίνακες), χρησιμοποιείται συνήθως η ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές (singular value decomposition).

Διάσταση

Η διάσταση του χώρου στηλών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα. Ο βαθμός του πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό οδηγών στοιχείων σε μια οποιαδήποτε κλιμακωτή μορφή του πίνακα (δηλαδή μετά την εφαρμογή της μεθόδου απαλοιφής). Ο βαθμός είναι επίσης ίσος με το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του πίνακα. Στο παραπάνω παράδειγμα ο βαθμός του πίνακα είναι 3.

Επειδή ο χώρος στηλών είναι ουσιαστικά η εικόνα του αντίστοιχου γραμμικού μετασχηματισμού, ο βαθμός του πίνακα είναι ίσος και με τη διάσταση της εικόνας του γραμμικού μετασχηματισμού. Για παράδειγμα, ο μετασχηματισμός $f:{ℝ}^4\to {ℝ}^4:f(𝐱)=A\cdot 𝐱$ που αντιστοιχεί στον πίνακα του παραπάνω παραδείγματος απεικονίζει όλα τα διανύσματα του ${ℝ}^4$ σε κάποιο τρισδιάστατο υπόχωρο.

Η διάσταση του μηδενοχώρου ενός πίνακα $A$ είναι ίση με τον αριθμό των στηλών της κλιμακωτής μορφής του πίνακα που δεν έχουν οδηγά στοιχεία. Η διάσταση του μηδενοχώρου ενός πίνακα με τον βαθμό του πίνακα συνδέονται μέσω της παρακάτω σχέσης:

$\mathrm{rank}(A)+\text{dim}(𝒩(A))=n$

όπου $n$ είναι το πλήθος στηλών του πίνακα.

Σχέση με τον αριστερό μηδενοχώρο

Ο αριστερός μηδενοχώρος του Πρότυπο:Mvar είναι το σύνολο όλων των διανυσμάτων Πρότυπο:Math του ${ℝ}^m$ για τα οποία ισχύει Πρότυπο:Math. Η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί εναλλακτικά (παίρνοντας τα ανάστροφα διανύσματα) ως $A^T\cdot 𝐱=\mathrm{𝟎}.$ Οπότε, ο χώρος αυτός είναι ουσιαστικά ο μηδενοχώρος του ανάστροφου πίνακα $A^T$. Το γινόμενο του πίνακα Πρότυπο:Math και του διανύσματος Πρότυπο:Math μπορεί επομένως να γραφεί ως

$A^{𝖳}\cdot 𝐱={\left[\begin{array}{cccc}{𝐯}_1& {𝐯}_2& \dots & {𝐯}_n\end{array}\right]}^T\cdot 𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐯}_1^T\\ {𝐯}_2^T\\ ⋮\\ {𝐯}_n^T\end{array}\right]\cdot 𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐯}_1^T\cdot 𝐱\\ {𝐯}_2^T\cdot 𝐱\\ ⋮\\ {𝐯}_n^T\cdot 𝐱\end{array}\right],$

όπου ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$ είναι τα διανύσματα στηλών του $A$. Οπότε η σχέση Πρότυπο:Math ισχύει αν και μόνο αν το Πρότυπο:Math είναι ορθογώνιο (κάθετο) σε καθένα από τα διανύσματα στηλών του Πρότυπο:Mvar.

Επομένως, ο αριστερός μηδενοχώρος (ο μηδενοχώρος του Πρότυπο:Math ) είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου στηλών του Πρότυπο:Mvar:

$𝒩(A)={(\text{colsp}(A))}^{\perp }$

Σε έναν πίνακα Πρότυπο:Mvar, ο χώρος στηλών, ο χώρος γραμμών, ο μηδενοχώρος και ο αριστερός μηδενοχώρος μερικές φορές αναφέρονται ως οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι.

Χώρος Γραμμών

Ορισμός

Σε αυτή την παράγραφο δίνεται ο αναλυτικός ορισμός του χώρου γραμμών. Θεωρούμε ένα σώμα αριθμών $𝔽$ και τον πίνακα $A\in {ℳ}_{m,n}(𝔽)$ με m γραμμές και n στήλες. Θεωρούμε επίσης τα διανύσματα γραμμών του πίνακα τα οποία συμβολίζουμε με Πρότυπο:Math . Ένας γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής

$c_1{𝐫}_1+c_2{𝐫}_2+\cdots +c_m{𝐫}_m,$

όπου Πρότυπο:Math είναι αριθμοί του $𝔽$. Το σύνολο όλων των πιθανών γραμμικών συνδυασμών των διανυσμάτων Πρότυπο:Math ονομάζεται χώρος γραμμών του Πρότυπο:Mvar. Δηλαδή, ο χώρος γραμμών του Πρότυπο:Mvar είναι ίσος με $\text{rowsp}(A)=\text{span}\{{𝐫}_1,{𝐫}_2,\dots ,{𝐫}_m\}$.

Για παράδειγμα, εάν

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\end{array}\right],$

τότε τα διανύσματα των γραμμών του πίνακα είναι ${𝐫}_1=[1,0,2{]}^T$ και ${𝐫}_1=[0,1,0{]}^T$. Ένας γραμμικός συνδυασμός των Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math είναι οποιοδήποτε διάνυσμα της μορφής

$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 2c_1\end{array}\right].$

Το σύνολο όλων αυτών των διανυσμάτων είναι ο χώρος γραμμών του Πρότυπο:Mvar . Σε αυτή την περίπτωση, το διάστημα γραμμών είναι ακριβώς το σύνολο των διανυσμάτων $(x,y,z)\in {ℝ}^3$ τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση Πρότυπο:Math (χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες, αυτό το σύνολο είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων).

Ο χώρος στηλών του Πρότυπο:Mvar είναι ίσος με το χώρο γραμμών του Πρότυπο:Math.

Υπολογισμός Βάσης

Ο χώρος γραμμών παράγεται από τις γραμμές του πίνακα. Όμως, αυτές οι γραμμές δεν είναι κατ' ανάγκην γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, οπότε γενικά δεν αποτελούν αναγκαστικά βάση του χώρου. Για να βρούμε μια βάση του χώρου γραμμών αρκεί να εφαρμόσουμε γραμμοπράξεις στον πίνακα Πρότυπο:Mvar σύμφωνα με τη μέθοδο απαλοιφής του Gauss.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε τον πίνακα

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 7& 4\\ 1& 5& 2\end{array}\right].$

Οι γραμμές αυτού του πίνακα παράγουν τον χώρο γραμμών, αλλά, επειδή (όπως φαίνεται παρακάτω) δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, δεν αποτελούν βάση του χώρου γραμμών. Για να βρούμε μια βάση του χώρου γραμμών εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss έτσι ώστε να βρούμε μια κλιμακωτή μορφή του πίνακα. Οι γραμμοπράξεις που πρέπει να γίνουν σημειώνονται παρακάτω:

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 2& 7& 4\\ 1& 5& 2\end{array}\right]& \stackrel{{𝐫}_2-2{𝐫}_1\to {𝐫}_2}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 1& 0\\ 1& 5& 2\end{array}\right]\stackrel{{𝐫}_3-{𝐫}_1\to {𝐫}_3}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 2& 0\end{array}\right]\\ & \stackrel{{𝐫}_3-2{𝐫}_2\to {𝐫}_3}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\stackrel{{𝐫}_1-3{𝐫}_2\to {𝐫}_1}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].\end{array}$

Όπως φαίνεται οι δύο πρώτες γραμμές (οι μη μηδενικές μετά τη διαδικασία απαλοιφής) του πίνακα είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα. Οπότε μια βάση του χώρου γραμμών είναι το σύνολο Πρότυπο:Math. Μια άλλη βάση του χώρου γραμμών είναι το σύνολο Πρότυπο:Math (δηλαδή οι μη μηδενικές γραμμές της κλιμακωτής μορφής).

Διάσταση

Η διάσταση του χώρου γραμμών ονομάζεται βαθμός (ή τάξη) του πίνακα. Ο βαθμός του πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό οδηγών στοιχείων σε μια οποιαδήποτε κλιμακωτή μορφή του πίνακα (δηλαδή μετά την εφαρμογή της μεθόδου απαλοιφής). Ο βαθμός είναι επίσης ίσος με το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του πίνακα. Στο παραπάνω παράδειγμα ο βαθμός του πίνακα είναι 2.

Ο βαθμός του πίνακα είναι επίσης ίσος και με τη διάσταση του χώρου στηλών. Η διάσταση του μηδενοχώρου του πίνακα συνδέεται με το βαθμό του πίνακα μέσω της σχέσης:

$\mathrm{rank}(A)+\text{dim}(𝒩(A))=n.$

όπου $n$ είναι το πλήθος στηλών του πίνακα..

Σχέση με το μηδενοχώρο του πίνακα

Ο μηδενοχώρος του πίνακα Πρότυπο:Mvar είναι το σύνολο των διανυσμάτων Πρότυπο:Math για τα οποία ισχύει η σχέση $A\cdot 𝐱=0$. Αν γράψουμε τον πίνακα χρησιμοποιώντας τις γραμμές του Πρότυπο:Math, θα έχουμε:$A$

$A\cdot 𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐫}_1\\ {𝐫}_2\\ ⋮\\ {𝐫}_m\end{array}\right]\cdot 𝐱=\left[\begin{array}{c}{𝐫}_1\cdot 𝐱\\ {𝐫}_2\cdot 𝐱\\ ⋮\\ {𝐫}_m\cdot 𝐱\end{array}\right],$

Οπότε, η σχέση $A\cdot 𝐱=0$ ισχύει αν και μόνο αν το διάνυσμα Πρότυπο:Math είναι κάθετο σε κάθε ένα από τα διανύσματα γραμμές του πίνακα Πρότυπο:Mvar.

Επομένως, ο μηδενοχώρος του πίνακα Πρότυπο:Mvar είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του χώρου γραμμών. Για παράδειγμα, αν ο χώρος γραμμών είναι ένα επίπεδο που περνάει από την αρχή των αξόνων στις 3 διαστάσεις (θεωρώ δηλαδή έναν πίνακα 3 επί 3), τότε ο μηδενοχώρος του πίνακα θα είναι μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο αυτό (που επίσης θα διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Ο χώρος στηλών, ο χώρος γραμμών, ο μηδενοχώρος και ο αριστερός μηδενοχώρος μερικές φορές αναφέρονται ως οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι του πίνακα Α.

 

Σχετικά Βιβλία

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation

Εξωτερικοί Σύνδεσμοιξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Mathworld
• Πρότυπο:Mathworld
• Πρότυπο:Smallcaps, MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces Πρότυπο:Webarchive at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• Khan Academy video tutorial
• Lecture on column space and nullspace by Gilbert Strang of MIT
• Row Space and Column Space Πρότυπο:Webarchive
• Χώρος Γραμμών - Χώρος Στηλών και Μηδενοχώρος: video μαθήματα στο youtube.
• Διανυσματικοί Χώροι Πρότυπο:Webarchive. Σημειώσεις (Χαραλάμπους και Φωτιάδης)