Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Διχοτόμος γωνίας

[[File:Bisector of angle el.svg|thumb|Η διχοτόμος <math>\rm O\delta</math> της γωνίας <math>\widehat{x{\rm O}y}</math>.]]
Στη [[γεωμετρία]], '''διχοτόμος''' μιας [[γωνία]]ς λέγεται η [[ημιευθεία]] η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.<ref name="T57">{{cite book |last=Τόγκας |first=Πέτρος Γ. |title=Θεωρητική Γεωμετρία |year=1957 |publisher=Πέτρου Γ. Τόγκα |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|52}}<ref name="Tav">{{cite book |last=Ταβανλής |first=Χ. |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτελη |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|79-89}}<ref name="P74">{{cite book |last=Πανάκης |first=Ιωάννης |title=Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος |year=1974 |publisher=Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων |location=Αθήνα}}</ref><ref name="K75">{{cite book |last=Κανέλλος |first=Σπ. Γ. |title=Ευκλείδειος Γεωμετρία |year=1975 |publisher=Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων |location=Αθήνα 1975}}</ref>

{{clear}}

== Το θεώρημα της διχοτόμου μιας γωνίας ==
[[Αρχείο:Angle_bisector_with_point_el.svg|thumbnail|Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.|200px]]
{{μαθηματικό θεώρημα|Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντιστρόφως κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της.{{r|Tav|p=79-80}}{{r|K75|p=26}}<ref>{{cite book |first=Γεώργιος Χ. |last=Παπανικολάου |title=Θεωρητική γεωμετρία |publisher=Ι. Μακρής |edition=3η |year=1966 |location=Αθήνα }}</ref>{{rp|75-76}}
}}

{{Μαθηματική απόδειξη|Έστω η γωνία <math>\widehat{x\mathrm{O}y}</math> και <math>\mathrm{O\delta}</math> η διχοτόμος της. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο της <math>\mathrm{O}\delta</math> ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Θεωρούμε τυχόν σημείο <math>\mathrm{\Sigma}</math> της <math>\mathrm{O}\delta</math>. Από το <math>\mathrm{\Sigma}</math> φέρνουμε τις κάθετες <math>\mathrm{\Sigma A}</math> στην <math>\mathrm{O}x</math> και <math>\mathrm{\Sigma B}</math> στην <math>\mathrm{O}y</math>. Τα [[ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογώνια τρίγωνα]] <math>\mathrm{A\Sigma O}</math> και <math>\mathrm{B\Sigma O}</math> έχουν κοινή την υποτείνουσα <math>\mathrm{O\Sigma}</math> και τις γωνίες  <math>\widehat{\mathrm{AO\Sigma}} = \widehat{\mathrm{BO\Sigma}}</math>, άρα είναι [[Ίσα τρίγωνα#Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων|ίσα]] ως [[ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογώνια]] με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες. Συνεπώς <math>\mathrm{\Sigma A} = \mathrm{\Sigma B}</math>.

Αντίστροφα, έστω <math>\widehat{x\mathrm{O}y}</math> μία γωνία και <math>\mathrm{\Sigma}</math> εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις <math>\mathrm{O}x</math> και <math>\mathrm{O}y</math>, δηλαδή <math>\mathrm{\Sigma A} = \mathrm{\Sigma B}</math>. Θα αποδείξουμε ότι το σημείο <math>\mathrm{\Sigma}</math> είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας <math>\widehat{x\mathrm{O}y}</math>.  Ενώνουμε το σημείο <math>\mathrm{\Sigma}</math> με την κορυφή <math>\mathrm{O}</math> και τότε τα [[ορθογώνιο τρίγωνο|ορθογώνια τρίγωνα]] <math>\mathrm{A\Sigma O}</math> και <math>\mathrm{B\Sigma O}</math> έχουν κοινή την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές <math>\mathrm{\Sigma A} = \mathrm{\Sigma B}</math> άρα είναι [[Ίσα τρίγωνα#Κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων|ίσα]] ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ίση. Συνεπώς, <math>\widehat{\mathrm{AO\Sigma}} = \widehat{\mathrm{BO\Sigma}}</math>. Δηλαδή το σημείο <math>\mathrm{\Sigma}</math> ανήκει στη διχοτόμο <math>\mathrm{O\delta}</math> της γωνίας <math>\widehat{x\mathrm{O}y}</math>. <math>\square</math> 
}}'''Σημείωση:''' Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι η διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο [[γεωμετρικός τόπος]] των σημείων της που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

== Ιδιότητες ==
{{Μαθηματικό θεώρημα
| διατύπωση = Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι και [[άξονας συμμετρίας]] της γωνίας.
| τύπος = Πόρισμα
}}{{Μαθηματικό θεώρημα
| διατύπωση = {{anchor|Κάθετοι διχοτόμοι}}Οι διχοτόμοι δύο [[εφεξής γωνίες|εφεξής]] και [[παραπληρωματικές γωνίες|παραπληρωματικών γωνιών]] είναι κάθετες.
}}{{Μαθηματική απόδειξη|
[[File:Supplementary angles bisectors el.svg|thumb|Οι διχοτόμοι  δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.]]
Έστω οι γωνίες <math>\widehat{x\mathrm{O}z}</math> και <math>\widehat{ z\mathrm{O}y}</math>, εφεξής και παραπληρωματικές. Χαράζουμε τις διχοτόμους τους <math>\rm O\delta</math> και <math>\rm O\varepsilon</math> αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι οι διχοτόμοι <math>\rm O\delta</math> και <math>\rm O\varepsilon</math> είναι κάθετες δηλαδή ότι η γωνία <math>\widehat{ \delta\mathrm{O}\varepsilon}</math> είναι ορθή.

Οι γωνίες <math>\widehat{x\mathrm{O}z}</math> και <math>\widehat{ z\mathrm{O}y}</math> είναι παραπληρωματικές άρα ισχύει:
:<math>\widehat{x\mathrm{O}z}+\widehat{z\mathrm{O}y}=180^{\circ}</math>
:<math>2\cdot\widehat{ \mathrm{\delta Oz}}+2\cdot\widehat{ \mathrm{zO \theta}}=180^{\circ}</math> καθώς <math>{\rm O}\delta</math> και <math>{\rm O}\theta</math> διχοτόμοι των <math>\widehat{x\mathrm{O}z}</math> και <math>\widehat{z\mathrm{O}y}</math>
:<math>\widehat{\delta\mathrm{O}z}+\widehat{z\mathrm{O}\varepsilon}=90^{\circ}</math>
:<math>\widehat{\delta\mathrm{O}\varepsilon}=90^{\circ}</math>.
{{Οεδ||Άρα οι διχοτόμοι είναι κάθετες.}}
}}
{{Μαθηματικό θεώρημα
| διατύπωση = Οι διχοτόμοι δύο [[κατακορυφήν γωνίες|κατακορυφήν γωνιών]] είναι [[αντικείμενες ημιευθείες]].{{r|Tav|p=79-80}}
}}{{Μαθηματική απόδειξη|
[[File:Vertical angles bisectors el.svg|thumb|Οι διχοτόμοι κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.]]
Θεωρούμε τις ευθείες <math>xx'</math> και <math>yy'</math> οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο και τις διχοτόμους <math>O \delta</math> και <math>O \varepsilon </math> των κατακορυφήν γωνιών <math>\widehat{x\mathrm{O}y}</math> και <math>\widehat{x'\mathrm{O}y'}</math>  αντίστοιχα.<br>
Θα αποδείξουμε ότι η γωνία <math>\widehat{\delta\mathrm{O}\varepsilon} = 180^{\circ} </math>.<br>
Οι κατακορυφήν γωνίες <math>\widehat{x\mathrm{O}y}</math> και <math>\widehat{x'\mathrm{O}y'}</math> είναι ίσες άρα ισχύει:
:<math>\widehat{x\mathrm{O}\delta}=\widehat{\delta\mathrm{O}y}=\widehat{ x'\mathrm{O}\varepsilon} = \widehat{\varepsilon\mathrm{O}y'}= \omega</math>.
Η γωνία <math>\widehat{\delta\mathrm{O}\varepsilon}</math> γράφεται ως
:<math>
\begin{align}
\widehat{\delta\mathrm{O}\varepsilon}
 & = \widehat{\delta\mathrm{O}x}+\widehat{x\mathrm{O}y'}+\widehat{ y'\mathrm{O}\varepsilon} \\
 & = \omega+\widehat{x\mathrm{O}y'}+\widehat{y'\mathrm{O}\varepsilon} \\
 & = \widehat{\varepsilon\mathrm{O}x'}+\widehat{x\mathrm{O}y'}+\widehat{ y'\mathrm{O}\varepsilon} \\
 & = \widehat{x\mathrm{O}x'} \\
 & = 180^{\circ}.
\end{align}</math>
{{Οεδ||Άρα οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.}}
}}

== Γεωμετρική κατασκευή ==
[[File:Angle bisector construction el.gif|thumb|Κατασκευή της διχοτόμου της γωνίας <math>\widehat{x{\rm O}y}</math> με κανόνα και διαβήτη.]]
Η διχοτόμος μίας γωνίας <math>\widehat{x{\rm O}y}</math> μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:
# Διαγράφουμε έναν [[κύκλος|κύκλο]] με κέντρο το σημείο τομής <math>\mathrm{O}</math> των δύο πλευρών της γωνίας.
# Θεωρούμε <math>\mathrm{T}_1</math> και <math>\mathrm{T}_2</math> τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας. 
# Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα <math>\mathrm{T}_1</math> και <math>\mathrm{T}_2</math> και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το <math>\mathrm{O}</math>.
# Η [[ημιευθεία]] που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

== Αναλυτική γεωμετρία ==
Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:
:<math>
  A_1 x + B_1 y + C_1 = 0, \quad \text{ και } \quad A_2 x + B_2 y + C_2 = 0.
</math>
Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις 
:<math>
\frac{A_1 x + B_1 y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = \frac{A_2 x + B_2 y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}},
</math> 
και 
:<math>
\frac{A_1 x + B_1 y + C_1}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2}} = - \frac{A_2 x + B_2 y + C_2}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2}}.
</math>

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

== Περαιτέρω ανάγνωση ==
=== Ελληνικά άρθρα ===
* {{cite journal |title=Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο |pages=160-164 |author=Ν. Μαρκάκης |journal= [[Ευκλείδης Β΄]] |year=1982 |issue=3 |url=http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135 }}

=== Ξενόγλωσσα άρθρα ===
* {{cite journal |last=Constantia |first=Mary |title= Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem |journal=The Mathematics Teacher |year=1964 |volume=57 |issue=8 |pages=539-541 |url=https://www.jstor.org/stable/27957138}}
* {{cite journal |last=Smith |first=T. Knape |title=184. Angle bisector theorems |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1969-02_53_383/page/58 |journal=The Mathematical Gazette |date=Φεβρουαρίου 1969 |volume=53 |issue=383 |pages=58–59 |doi=10.2307/3613462}}
* {{cite journal |last=Abu-Saymeh |first=Sadi |coauthors=Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa |title=Long medians and long angle bisectors |journal=The Mathematical Gazette |date=Νοεμβρίου 2021 |volume=105 |issue=564 |pages=397–409 |doi=10.1017/mag.2021.106}}
* {{cite journal |last=Mironescu |first=Petru |coauthors=Panaitopol, Laurentiu |title=The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-01_101_1/page/58 |journal=The American Mathematical Monthly |date=Ιανουαρίου 1994 |volume=101 |issue=1 |pages=58–60 |doi=10.1080/00029890.1994.11996906}}

== Δείτε επίσης ==
* [[Γωνία]]
* [[Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου]]
* [[Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου]]
* [[Θεώρημα διχοτόμου]]
* [[Έγκεντρο τριγώνου]]

==Παραπομπές==
<references/>

{{Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία}}
{{Τρίγωνο}}

[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια επιπεδομετρία]]
[[Κατηγορία:Γωνία]]
[[Κατηγορία:Ευθείες]]
[[Κατηγορία:Θεωρήματα στη Γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρικοί τόποι]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρικές κατασκευές]]