Διχοτόμος γωνίας

Η διχοτόμος $\mathrm{O}\mathrm{\delta }$ της γωνίας $\widehat{x\mathrm{O}y}$.

Στη γεωμετρία, διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.Πρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Το θεώρημα της διχοτόμου μιας γωνίας

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξηΣημείωση: Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι η διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή της διχοτόμου της γωνίας $\widehat{x\mathrm{O}y}$ με κανόνα και διαβήτη.

Η διχοτόμος μίας γωνίας $\widehat{x\mathrm{O}y}$ μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής $\mathrm{O}$ των δύο πλευρών της γωνίας.
2. Θεωρούμε ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα ${\mathrm{T}}_1$ και ${\mathrm{T}}_2$ και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το $\mathrm{O}$.
4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0,\text{ και }{A}_{2}x+B_{2}y+C_2=0.$

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

$\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=\frac{A_{2}x+B_{2}y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}},$

και

$\frac{A_{1}x+B_{1}y+C_1}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=-\frac{A_{2}x+B_{2}y+C_2}{\sqrt{A_2^2+B_2^2}}.$

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal

Δείτε επίσης

• Γωνία
• Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου
• Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου
• Θεώρημα διχοτόμου
• Έγκεντρο τριγώνου