Θεώρημα διχοτόμου

Η εσωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ της κορυφής $\mathrm{A}$ στο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ χωρίζει την $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με λόγο $\frac{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}$.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος μίας κορυφής του χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ αν $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ διχοτόμος, τότε

$\frac{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}.$

Η εξωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ της κορυφής $\mathrm{A}$ στο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, ικανοποιεί $\frac{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}$.

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμου (ή θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\ne }\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ αν $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ η εξωτερική διχοτόμος, τότε

$\frac{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}{\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}.$

Πορίσματα

Το θεώρημα της διχοτόμου χρησιμοποιείται στις αποδείξεις πολλών άλλων θεωρημάτων και μετρικών σχέσεων στην γεωμετρία. Παρακάτω παραθέτουμε μερικές από αυτές.

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Έγκεντρο $\mathrm{I}$ του τριγώνου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ οι διχοτόμοι $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\Gamma }}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο (το ονομαζόμενο έγκεντρο του τριγώνου). Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Έστω $\alpha =\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, $\beta =\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}$ και $\gamma =\mathrm{A}\mathrm{B}$, τότε

$\mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\frac{\alpha \gamma }{\beta +\gamma }$ και $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }=\frac{\alpha \beta }{\beta +\gamma }$.

Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ το διάνυσμα του έγκεντρου δίνεται από

$\overrightarrow{\mathrm{I}}=\frac{1}{\alpha +\beta +\gamma }\cdot (\alpha \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}+\beta \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}}+\gamma \cdot \overrightarrow{\mathrm{\Gamma }})$,

όπου $\overrightarrow{\mathrm{A}},\overrightarrow{\mathrm{B}},\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }}$ τα διανύσματα των τριών κορυφών του τριγώνου.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου που χρησιμοποιεί το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Έστω $\alpha =\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, $\beta =\mathrm{\Gamma }\mathrm{A}$ και $\gamma =\mathrm{A}\mathrm{B}$, τότε

$\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=\frac{\alpha \gamma }{\beta -\gamma }$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=\frac{\alpha \beta }{\beta -\gamma }$.

Απολλώνιος κύκλος

Ο Απολλώνιος κύκλος του $\mathrm{A}\mathrm{B}$ για κάποιο $k>1$. Όλα τα σημεία του $\mathrm{P}$ ικανοποιούν $\frac{\mathrm{P}\mathrm{A}}{\mathrm{P}\mathrm{B}}=k$.

Πρότυπο:Κύριο Το θεώρημα της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιούνται για την απόδειξη ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων $\mathrm{P}$ των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$, έχουν σταθερό λόγο $k\ne 1$ (δηλαδή $k=\frac{\mathrm{P}\mathrm{A}}{\mathrm{P}\mathrm{B}}$), είναι ένας κύκλος. Αυτός ο κύκλος λέγεται Απολλώνιος κύκλος.

Αρμονική τετράδα

Εσωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ και εξωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ τριγώνου. Τα σημεία $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ είναι αρμονικά συζυγή των $\mathrm{B},\mathrm{\Gamma }$.

Από το θεώρημα της της εσωτερικής και εξωτερικής διχοτόμου προκύπτει ότι τα σημεία $\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ είναι αρμονικά συζυγή των $\mathrm{A},\mathrm{B}$, καθώς

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }}{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}=\frac{\mathrm{A}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}{\mathrm{B}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }}$.

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Έγκεντρο τριγώνου
• Απολλώνιος κύκλος