Εσωτερική διχοτόμος τριγώνου

Εσωτερική διχοτόμος $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ της κορυφής $\mathrm{A}$ στο τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$.

Στη γεωμετρία, διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου ή εσωτερική διχοτόμος λέγεται το τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, που περιέχεται μεταξύ της κορυφής της γωνίας και της πλευράς του τριγώνου.

Πιο συγκεκριμένα, σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ που διχοτομεί την $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}$ και $\mathrm{\Delta }$ είναι σημείο της $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$. Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των γωνιών $\hat{\mathrm{B}}$ και $\hat{\mathrm{\Gamma }}$ του τριγώνου. Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με ${\delta }_{\mathrm{A}},{\delta }_{\mathrm{B}},{\delta }_{\mathrm{\Gamma }}$ ή ${\delta }_{\alpha },{\delta }_{\beta },{\delta }_{\gamma }$ ή ${\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3$ αντίστοιχα.Πρότυπο:Rp

Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ η διχοτόμος $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,Πρότυπο:R

$\frac{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}.$

Έγκεντρο τριγώνου

Πρότυπο:Κύριο Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται έγκεντρο του τριγώνου και είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:RΠρότυπο:R

Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:Πρότυπο:RΠρότυπο:R

${\delta }_{\mathrm{A}}=\sqrt{\beta \gamma \cdot (1-\frac{{\alpha }^2}{(\beta +\gamma {)}^2})}$, ${\delta }_{\mathrm{B}}=\sqrt{\gamma \alpha \cdot (1-\frac{{\beta }^2}{(\gamma +\alpha {)}^2})}$ και ${\delta }_{\mathrm{\Gamma }}=\sqrt{\alpha \beta \cdot (1-\frac{{\gamma }^2}{(\alpha +\beta {)}^2})}$.

Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής:Πρότυπο:RpΠρότυπο:RΠρότυπο:Rp

${\delta }_{\mathrm{A}}=\frac{2\beta \gamma }{\beta +\gamma }\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2},$ ${\delta }_{\mathrm{B}}=\frac{2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{B}}}{2}$ και ${\delta }_{\mathrm{\Gamma }}=\frac{2\alpha \beta }{\alpha +\beta }\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}$,

και επίσης

${\delta }_{\mathrm{A}}=\frac{\alpha \cdot \sin \hat{\mathrm{B}}\cdot \sin \hat{\mathrm{\Gamma }}}{\sin \hat{\mathrm{A}}\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{B}}-\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}}$, ${\delta }_{\mathrm{B}}=\frac{\beta \cdot \sin \hat{\mathrm{\Gamma }}\cdot \sin \hat{\mathrm{A}}}{\sin \hat{\mathrm{B}}\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{\Gamma }}-\hat{\mathrm{A}}}{2}}$ και ${\delta }_{\mathrm{\Gamma }}=\frac{\gamma \cdot \sin \hat{\mathrm{A}}\cdot \sin \hat{\mathrm{B}}}{\sin \hat{\mathrm{\Gamma }}\cdot \cos \frac{\hat{\mathrm{A}}-\hat{\mathrm{B}}}{2}}$.

Ανισοτική σχέση

Θεώρημα: Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με $\mathrm{A}\mathrm{B}>\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ ισχύει ότι ${\delta }_{\mathrm{\Gamma }}<{\delta }_{\mathrm{B}}$, και αντίστροφα.Πρότυπο:R

Δείτε επίσης

• Διχοτόμος γωνίας
• Εξωτερική διχοτόμος τριγώνου