Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

[[Αρχείο:Cyclic_quadrilateral_el.svg|right|thumb|Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math>.]]
Στην [[γεωμετρία]], ένα κυρτό [[τετράπλευρο]] <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> λέγεται '''εγγεγραμμένο''' ή '''εγγράψιμο''' ή '''κυκλικό''' αν οι κορυφές του <math>\rm A</math>, <math>\rm B</math>, <math>\rm \Gamma</math> και <math>\rm \Delta</math> ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται '''περιγεγραμμένος κύκλος''' του <math>\rm AB\Gamma\Delta</math>.<ref name="Tav">{{cite book |last=Ταβανλης |first=Χ. |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτελη |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|111}}<ref>{{cite book |title=Ελάσσον Γεωμετρικόν |last=Πάμφιλος |first=Πάρις |publisher=Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης |year=2012 |isbn=9789605243807 }}</ref>{{rp|134}}<ref>{{cite book |last=Βασιλειάδης |first=Παν. Κ. |title=Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία |location=Θεσσαλονίκη |year=1966 }}</ref>{{rp|38}}
{{clear}}
== Ιδιότητες ==
{{multiple image
|align=center
|image1=Cyclic quadrilateral perpendicular bisectors.svg
|caption1=Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο.
|image2=Cyclic quadrilateral opposite angles.svg
|caption2=Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή <math>\hat{\rm A} + \hat{\rm \Gamma} = \hat{\rm B} + \hat{\rm \Delta} = 180^\circ</math>.
|image3=Cyclic quadrilateral with exterior angle.svg
|caption3=Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η <math>\hat{\rm A}</math> είναι ίση με την εξωτερική της <math>\hat{\rm \Gamma}</math>.
|image4=Cyclic quadrilateral angle with diagonal.svg
|caption4=Οι γωνίες είναι <math>\widehat{\rm \Delta A \Gamma} = \widehat {\rm \Delta B \Gamma}</math>.
}}
* Ένα κυρτό τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται '''περίκεντρο'''.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
(<math>\Rightarrow</math>) Έστω <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> ένα κυρτό εγγεγραμμένο τετράπλευρο, όπου ο περιγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο <math>\rm O</math> και ακτίνα <math>\rho</math>. Τότε, αφού τα <math>\rm A</math>, <math>\rm B</math>, <math>\rm \Gamma</math> και <math>\rm \Delta</math> ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι 
:<math>{\rm OA} = {\rm OB} = {\rm O\Gamma} = {\rm O\Delta} = \rho</math>.
Επομένως, καταλήγουμε ότι το <math>\rm O</math> ανήκει στις μεσοκαθέτους των <math>\rm AB</math>, <math>\rm B\Gamma</math>, <math>\rm \Gamma\Delta</math> και <math>\rm \Delta A</math>.

(<math>\Leftarrow</math>) Έστω <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο <math>\rm O</math>. Τότε, έχουμε
:<math>{\rm OA} = {\rm OB} = {\rm O\Gamma} = {\rm O\Delta}</math>,
και επομένως ο κύκλος με κέντρο <math>\rm O</math> και ακτίνα <math>\rm OA</math> διέρχεται από τα <math>\rm A</math>, <math>\rm B</math>, <math>\rm \Gamma</math> και <math>\rm \Delta</math>. <math>\square</math>
}}
* {{anchor|παραπληρωματικές-γωνίες}}Ένα κυρτό τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι [[παραπληρωματικές γωνίες|παραπληρωματικές]], δηλαδή <math>\hat{\rm A} + \hat{\rm \Gamma} = 180^\circ</math>.
* Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την [[εξωτερική γωνία|εξωτερική]] της απέναντί της.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την προηγούμενη, καθώς η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής.}}
* Ένα κυρτό τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές ''φαίνεται'' από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή <math>\widehat {\rm A\Gamma B} = \widehat{\rm A\Delta B}</math>.
[[File:Japanese theorem el.svg|thumb|Το <math>\rm I_1I_2I_3I_4</math> ορθογώνιο και <math>\rho_1 + \rho_3 = \rho_2 + \rho_4</math>.]]
* Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math>, θεωρούμε τους [[εγγεγραμμένος κύκλος τριγώνου|εγγεγραμμένους κύκλους]] <math>({\rm I}_1, \rho_1)</math>, <math>({\rm I}_2, \rho_2)</math>, <math>({\rm I}_3, \rho_3)</math> και <math>({\rm I}_4, \rho_4)</math> των τριγώνων   <math>\rm AB\Gamma</math>, <math>\rm B\Gamma\Delta</math>, <math>\rm \Gamma\Delta A</math> και <math>\rm \Delta AB</math>. Τότε ισχύει ότι
** Το τετράπλευρο <math>\rm I_1I_2I_3I_4</math> είναι [[ορθογώνιο]], και
** ('''[[Ιαπωνικό θεώρημα]]''') <math>\rho_1 + \rho_3 = \rho_2 + \rho_4</math>.

== Εμβαδόν ==
Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> με μήκη πλευρών <math>\alpha, \beta, \gamma, \delta</math> δίνεται από τον [[τύπος Βραχμαγκούπτα|τύπο του Βραγχμαγκούπτα]] (ο οποίος γενικεύει τον [[τύπος του Ήρωνα|τύπο του Ήρωνα]] για τα τρίγωνα)
:<math>{\rm E} = \sqrt{(\tau - \alpha) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \gamma) \cdot (\tau - \delta)}</math>, 
όπου <math>\tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta)</math> η [[ημιπερίμετρος]] του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών <math>\alpha, \beta, \gamma, \delta</math>, το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν (δείτε [[ Τύπος Bretschneider#χτετράπλευρο-με-μεγιστο-εμβαδόν|εδώ]]).<ref>{{cite journal |title=100.22 The maximal area property of cyclic quadrilaterals |date=14 June 2016
|first=Mowaffaq |last=Hajja |volume=100 |issue=548 |doi=10.1017/mag.2016.75 }}</ref>

== Μετρικές σχέσεις ==
* ('''[[Θεώρημα Πτολεμαίου|1o Θεώρημα του Πτολεμαίου]]''') Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> ισχύει ότι<ref>{{cite book |last=Πανακης |first=Ιωάννης |title=Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως) |year=1974 |publisher=Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων |location=Αθήνα |pages=49-51}}</ref><ref>{{cite book |last=Στεργίου |first=Μπάμπης |title=Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα,Εμβαδά |year=2012 |publisher=Σαββάλας |location=Αθήνα |isbn=978-960-493-159-0 |pages=187-188}}</ref>
::<math>{\rm A\Gamma} \cdot {\rm B\Delta} = \alpha \gamma + \beta\delta</math>.
* ('''[[Δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου|2o Θεώρημα του Πτολεμαίου]]''') Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> ισχύει ότι
::<math>\frac{\rm A\Gamma}{\rm B\Delta} = \frac{\alpha\delta + \beta\gamma}{\alpha \beta + \gamma\delta}</math>.
* Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις
::<math>{\rm A\Gamma} = \sqrt{\frac{(\alpha \gamma + \beta \delta) \cdot (\alpha \delta + \beta\gamma)}{\alpha \beta + \gamma\delta}}\quad</math> και <math>\quad {\rm B\Delta} = \sqrt{\frac{(\alpha \beta + \gamma\delta) \cdot (\alpha \delta + \beta\gamma)}{\alpha \gamma + \beta \delta}}</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου. Για παράδειγμα, από τον πολλαπλασιαμό των σχέσεων
:<math>{\rm A\Gamma} \cdot {\rm B\Delta} = \alpha \gamma + \beta\delta</math>,
και
:<math>\frac{\rm A\Gamma}{\rm B\Delta} = \frac{\alpha\delta + \beta\gamma}{\alpha \beta + \gamma\delta}</math>,
λαμβάνουμε
:<math>{\rm A\Gamma}^2 = \frac{(\alpha \gamma + \beta \delta) \cdot (\alpha \delta + \beta\gamma)}{\alpha \beta + \gamma\delta}</math>, 
που οδηγεί στον πρότο τύπο.
}}
* ('''[[Θεώρημα τεμνόμενων χορδών]]''') Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> όπου <math>\rm I</math> το σημείο τομής των διαγωνίων του <math>\rm A\Gamma</math> και <math>\rm B\Delta</math>, ισχύει ότι 
::<math>{\rm AI} \cdot {\rm I \Gamma} = {\rm BI} \cdot {\rm I \Delta}</math>.
* Η ακτίνα <math>R</math> του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο 
::<math>R = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(\alpha \beta + \gamma\delta)\cdot (\alpha\gamma + \beta\delta)\cdot (\alpha \delta + \beta\gamma)}{(\tau - \alpha)(\tau - \beta)(\tau - \gamma) (\tau - \delta)}}</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου <math>\rm AB\Gamma</math> με πλευρές <math>\alpha, \beta, \gamma</math> και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου <math>R</math>
:<math>{\rm E}_{\rm AB\Gamma} = \frac{\alpha\beta\gamma}{4R}</math>.
Τώρα στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> τον εφαρμόζουμε στα τρίγωνα <math>\rm AB\Gamma</math> και <math>\rm A\Delta\Gamma</math> που έχουν τον ίδιο [[περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου|περιγεγραμμένο κύκλο]], έχουμε ότι 
:<math>{\rm E}_{\rm AB\Gamma\Delta} 
 = {\rm E}_{\rm AB\Gamma} + {\rm E}_{\rm A\Delta\Gamma} 
 = \frac{\alpha\beta {\rm A\Gamma}}{4R} + \frac{\gamma\delta {\rm A\Gamma}}{4R} 
 = \frac{\rm A\Gamma}{4R} \cdot ( \alpha\beta + \gamma\delta)</math>.
Λύνοντας προς <math>R</math> λαμβάνουμε
:<math>R
 = \frac{\rm A\Gamma}{4{\rm E}_{\rm AB\Gamma\Delta} } \cdot ( \alpha\beta + \gamma\delta )</math>.
Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο.
}}
* Για την γωνία <math>\hat{\rm A}</math> ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύου <math>\rm AB\Gamma\Delta</math> ισχύει ότι<ref>{{citation |last1=Siddons |first1=A. W. |first2=R. T. |last2=Hughes |title=Trigonometry |publisher=Cambridge University Press |year=1929 |page=202 |oclc=429528983}}</ref>
::<math>\sin \hat{\rm A} = \frac{2\sqrt{(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)(\tau-\delta)}}{(\alpha\delta+\beta\gamma)},</math>
::<math>\cos \hat{\rm A} = \frac{\alpha^2-\beta^2-\gamma^2+\delta^2}{2(\alpha\delta+\beta\gamma)},</math>
::<math>\tan \frac{\hat{\rm A}}{2} = \sqrt{\frac{(\tau-\alpha)(\tau-\delta)}{(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}}</math>,
:όπου <math>\tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\alpha + \beta + \gamma + \delta)</math> η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

== Ειδικές περιπτώσεις ==
* Το [[ορθογώνιο παραλληλόγραμμο]] είναι εγγραγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο [[παραλληλόγραμμο]].
* Το [[ισοσκελές τραπέζιο]] είναι εγγεγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο [[τραπέζιο]].
[[File:Quadrilateral angle bisectors el.svg|thumb|Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.]]
* Οι [[διχοτόμος γωνίας|διχοτόμοι]] των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι [[Περιγεγραμμένο τετράπλευρο|περιγεγραμμένο]]). 
{{clear}}

== Εφαρμογές ==
Τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:
* Στην [[Ορθόκεντρο τριγώνου#Απόδειξη με εγγεγραμμένα τετράπλευρα|απόδειξη ύπαρξης]] του ορθόκεντρου τριγώνου
* Στον [[Κύκλος του Όιλερ#Απόδειξη με εγγεγραμμένα τετράπλευρα|απόδειξη]] του [[κύκλος του Όιλερ|κύκλου Όιλερ]] ενός τριγώνου
* Στην [[Ευθεία Σίμσον#Απόδειξη|απόδειξη]] της ευθείας Σίμσον 
* Στην [[Θεώρημα Νάγκελ#Απόδειξη|απόδειξη]] του θεωρήματος Νάγκελ
* Στην [[Σημείο Στάινερ#Απόδειξη|απόδειξη]] του σημείου Στάινερ
* Στην [[Σημείο ΜακΛώριν#Απόδειξ|απόδειξη]] του σημείου ΜακΛώριν

== Δείτε επίσης ==
* [[Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου]]
* [[Εγγεγραμμένο πολύγωνο]]
* [[Περιγεγραμμένο τετράπλευρο]]

== Παραπομπές ==
<references/>

{{τετράπλευρο}}
[[Κατηγορία:Τετράπλευρα]]