Εγγεγραμμένο τετράπλευρο

Ένα εγγράψιμο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ λέγεται εγγεγραμμένο ή εγγράψιμο ή κυκλικό αν οι κορυφές του $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{\Delta }$ ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp Πρότυπο:Clear

Ιδιότητες

• Ένα κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.

• Πρότυπο:AnchorΈνα κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή $\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}=180^{\circ }$.
• Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.

• Ένα κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\mathrm{B}}$.

Το ${\mathrm{I}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{3}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{4}}$ ορθογώνιο και ${\rho }_1+{\rho }_3={\rho }_2+{\rho }_4$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους $({\mathrm{I}}_1,{\rho }_1)$, $({\mathrm{I}}_2,{\rho }_2)$, $({\mathrm{I}}_3,{\rho }_3)$ και $({\mathrm{I}}_4,{\rho }_4)$ των τριγώνων $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$, $\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }\mathrm{A}$ και $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}$. Τότε ισχύει ότι
  • Το τετράπλευρο ${\mathrm{I}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{3}}{\mathrm{I}}_{\mathrm{4}}$ είναι ορθογώνιο, και
  • (Ιαπωνικό θεώρημα) ${\rho }_1+{\rho }_3={\rho }_2+{\rho }_4$.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

$\mathrm{E}=\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}$,

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$, το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν (δείτε εδώ).

Μετρικές σχέσεις

• (1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ ισχύει ότι

$\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\cdot \mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\alpha \gamma +\beta \delta$.

• (2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ ισχύει ότι

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}=\frac{\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }$.

• Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις

$\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }=\sqrt{\frac{(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }=\sqrt{\frac{(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \gamma +\beta \delta }}$.

• (Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα εγγεγραμμένο τεράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ όπου $\mathrm{I}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του $\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{B}\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι

$\mathrm{A}\mathrm{I}\cdot \mathrm{I}\mathrm{\Gamma }=\mathrm{B}\mathrm{I}\cdot \mathrm{I}\mathrm{\Delta }$.

• Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο

$R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}$.

• Για την γωνία $\hat{\mathrm{A}}$ ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ ισχύει ότι

$\sin \hat{\mathrm{A}}=\frac{2\sqrt{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}{(\alpha \delta +\beta \gamma )},$

$\cos \hat{\mathrm{A}}=\frac{{\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2+{\delta }^2}{2(\alpha \delta +\beta \gamma )},$

$\tan \frac{\hat{\mathrm{A}}}{2}=\sqrt{\frac{(\tau -\alpha )(\tau -\delta )}{(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}$,

όπου $\tau =\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

• Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγραγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο παραλληλόγραμμο.
• Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγεγραμμένο και είναι το μόνο εγγεγραμμένο τραπέζιο.

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο.

• Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγραμμένο).

Εφαρμογές

Τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

• Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
• Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
• Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
• Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
• Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
• Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγεγραμμένο πολύγωνο
• Περιγεγραμμένο τετράπλευρο