Τύπος Bretschneider

Τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.

Στην γεωμετρία, ο τύπος Bretschneider είναι ένας μαθηματικός τύπος για το εμβαδόν ενός τετραπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, το εμβαδόν $\mathrm{E}$ ενός τετραπλεύρου $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ δίνεται από Πρότυπο:Rp

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}& =\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\alpha \beta \gamma \delta \cdot {\cos }^2\left(\frac{\hat{\mathrm{A}}\mathrm{+}\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}\right)}\\ & =\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-\frac{1}{2}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos (\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}))},\end{array}$

όπου $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ είναι τα μήκη των πλευρών του.

Ειδικές περιπτώσεις

Σε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, έχουμε ότι οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, άρα $\cos \left(\frac{\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}}{2}\right)=\cos 90^{\circ }=0$, και έτσι λαμβάνουμε τον τύπο του Βραχμαγκούπτα,

${\mathrm{E}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}=\sqrt{(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}$.

Επιπλέον σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ έχουμε ότι $\delta =0$ και έτσι λαμβάνουμε τον τύπο του Ήρωνα,

${\mathrm{E}}_{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }}=\sqrt{\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}$.

Ιστορία

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον C. A. Bretschneider που τον δημοσίευσε το 1842. Ο τύπος εμφανίζεται και στην δημοσίευση του F. Strehlke

Πόρισμα

Πρότυπο:Anchor Ένα βασικό πόρισμα αυτού του τύπου είναι ότι το τετράπλευρο με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ με το μέγιστο εμβαδόν είναι το εγγεγραμμένο τετράπλευρο. Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη

Δείτε επίσης

• Τύπος του Ήρωνα
• Τύπος Βραχμαγκούπτα

Περαιτέρω ανάγνωση

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Πρότυπο:Cite journal
• Πρότυπο:Cite journal