Εγγεγραμμένο πολύγωνο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό πολύγωνο ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\dots {\mathrm{P}}_n$ λέγεται εγγεγραμμένο, εγγράψιμο ή κυκλικό αν όλες του οι $n$ κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου και τα σημεία λέμε ότι είναι ομοκύκλια.Πρότυπο:Rp

Ιδιότητες

• Πρότυπο:AnchorΈνα κυρτό πολύγωνο ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\dots {\mathrm{P}}_n$ είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2,{\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3,\dots {\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n,{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_1$, διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου.

• (Ιαπωνικό θεώρημα) Σε ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο ${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2\dots {\mathrm{P}}_n$, για κάθε τριγωνισμό του ${\mathrm{A}}_i{\mathrm{B}}_i{\mathrm{\Gamma }}_i$ (για $i=1,\dots ,n-2$), ισχύει ότι οι ακτίνες των εγγεγγραμμένων κύκλων αυτών των τριγώνων έχουν σταθερό άθροισμα (δηλαδή αναξάρτητο του τριγωνισμού).

Ειδικές περιπτώσεις

• Κάθε τρίγωνο ($n=3$) είναι εγγεγραμμένο.
• Στα τετράπλευρα, ισχύουν οι εξής αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι εγγεγραμμένο:
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή $\hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{\Gamma }}=180^{\circ }$.
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.
  • Ένα κυρτό τετράπλευρο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\Delta }\mathrm{B}}$.
• Όλα τα κανονικά πολύγωνα είναι εγγεγραμμένα.

Δείτε επίσης

• Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου
• Εγγεγραμμένο τετράπλευρο