Ορθόκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο που τέμνονται τα ύψη του τριγώνου (ή οι προεκτάσεις τους).

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο, το ορθόκεντρο είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου, σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο είναι εξωτερικό και σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ταυτίζεται με την κορυφή που αντιστοιχεί στην ορθή γωνία.

Ιδιότητες

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }$ με ύψη $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}$, $\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}$ και $\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$ και ορθόκεντρο $\mathrm{H}$, ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

• (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm{G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm{H}$ και το περίκεντρο $\mathrm{O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm{H}\mathrm{G}=2\cdot \mathrm{G}\mathrm{O}$.
• (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία ${\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$, τα μέσα των $\mathrm{A}\mathrm{H},\mathrm{B}\mathrm{H},\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}$ και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:RΠρότυπο:R
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.Πρότυπο:R
• Το ορθόκεντρο είναι το σημείο $\mathrm{P}$ που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:

$f(\mathrm{P})=\mathrm{P}\mathrm{A}+\mathrm{P}\mathrm{B}+\mathrm{P}\mathrm{\Gamma }+\mathrm{P}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}+\mathrm{P}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}+\mathrm{P}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$.

Μετρικές σχέσεις

• Έστω $\mathrm{E}$ το εμβαδό του τριγώνου και $\hat{\mathrm{A}}>90^o$, τότεΠρότυπο:R

${\mathrm{A}\mathrm{H}}^2=\frac{\alpha \cdot ({\beta }^2+{\gamma }^2-{\alpha }^2)}{4\mathrm{E}}$,

και αν $\mathrm{A}<90^o$, τότε

${\mathrm{A}\mathrm{H}}^2=\frac{\alpha \cdot ({\alpha }^2-{\beta }^2-{\gamma }^2)}{4\mathrm{E}}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

${\mathrm{A}\mathrm{H}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{H}}^2+{\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}}^2=12R^2-({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$

• Αν $\mathrm{H}$ το ορθόκεντρο, $\mathrm{G}$ το βαρύκεντρο, $(\mathrm{O},R)$ ο περιγεγραμμένος, $(\mathrm{I},\rho )$ o εγγεγραμμένος και $({\mathrm{I}}_{\mathrm{A}},{\rho }_{\mathrm{A}})$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότεΠρότυπο:R

${\mathrm{O}\mathrm{H}}^2=9R^2-({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$,

${\mathrm{H}\mathrm{G}}^2=4R^2-4\cdot ({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$,

${\mathrm{H}\mathrm{I}}^2=2{\rho }^2-4R^2\cos \mathrm{A}\cos \mathrm{B}\cos \mathrm{\Gamma }$,

${\mathrm{H}{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}}^2=2{\rho }_{\mathrm{A}}^2-4R^2\cos \mathrm{A}\cos \mathrm{B}\cos \mathrm{\Gamma }$.

• Οι τριγραμμικές συντεταγμένες του ορθόκεντρου είναι

$\sec A:\sec B:\sec C=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B$,

και οι βαρυκεντρικές του συντεταγμένες είναι

$\tan A:\tan B:\tan C=({\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2)({\alpha }^2-{\beta }^2+{\gamma }^2):({\alpha }^2+{\beta }^2-{\gamma }^2)(-{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2):({\alpha }^2-{\beta }^2+{\gamma }^2)(-{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)$.

• Για τα ύψη $\mathrm{A}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}},\mathrm{B}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}},\mathrm{\Gamma }{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$, ισχύει ότι
  • $\mathrm{A}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{B}\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}=\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}\cdot \mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}$,
  • $\frac{\mathrm{A}\mathrm{H}}{\mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{A}}}+\frac{\mathrm{B}\mathrm{H}}{\mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{B}}}+\frac{\mathrm{\Gamma }\mathrm{H}}{\mathrm{H}{\mathrm{H}}_{\mathrm{\Gamma }}}=1$.
  • $({\upsilon }_{\mathrm{A}}+{\upsilon }_{\mathrm{B}}+{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }})\cdot (\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{A}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{B}}}+\frac{1}{{\upsilon }_{\mathrm{\Gamma }}})=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot (\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }+\frac{1}{\gamma })$.

Δείτε επίσης

• Ύψος τριγώνου
• Βαρύκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου
• Περίκεντρο τριγώνου, το σημείο τομής των μεσοκαθέτων του τριγώνου