Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εικασία Έρντος για τις αριθμητικές προόδους

{| style="float: right; margin-left: 1em; border:#9aeade; background-color:#F4F4F4; solid 2px; clear: right"
|-
| style="text-align: center"| '''Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά:'''[[Αρχείο:QUESTION.svg|20px|μικρογραφία]]<br>
''Μήπως κάθε μεγάλο σύνολο φυσικών<br> αριθμών περιέχει αυθαίρετα <br>μεγάλες αριθμητικές προόδους;'' 
|-
|}
Η '''εικασία του Έρντος για τις αριθμητικές προόδους''', που συχνά αναφέρεται ως '''εικασία Έρντος-Τουράν''', είναι μια [[εικασία]] στην αριθμητική συνδυαστική (δεν πρέπει να συγχέεται με την εικασία [[Πολ Έρντος|Έρντος]]-Τουράν για τις προσθετικές βάσεις). Δηλώνει ότι αν το άθροισμα των αμοιβαίων των μελών ενός συνόλου ''Α'' θετικών ακεραίων αποκλίνει, τότε το ''Α'' περιέχει αυθαίρετα μεγάλες [[Αριθμητική πρόοδος|αριθμητικές προόδους]].

Τυπικά, η εικασία δηλώνει ότι αν το ''Α'' είναι ένα μεγάλο σύνολο με την έννοια ότι

<math> \sum_{n\in A} \frac{1}{n} \ =\ \infty, </math>

τότε το ''Α'' περιέχει αριθμητικές προόδους οποιουδήποτε μήκους, που σημαίνει ότι για κάθε θετικό ακέραιο ''k'' υπάρχει ένας ακέραιος ''a'' και ένας μη μηδενικός ακέραιος ''c'' τέτοιος ώστε <math>\{a,a{+}c,a{+}2c,\ldots,a{+}kc\}\subset A</math>.

Το θεώρημα Γκριν-[[Τέρενς Τάο|Τάο]]<ref> Ben J. Green et Terence Tao, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », Annals of Mathematics, vol. 167, 2008, p. 481-547 ([https://arxiv.org/abs/math/0404188 arXiv math.NT/0404188]).</ref> για τις [[Αριθμητική πρόοδος|αριθμητικές πρόοδους]] πρώτων αριθμών είναι μια ειδική περίπτωση αυτής της εικασίας.

==Ιστορία==

Το 1936, οι [[Πολ Έρντος|Έρντος]] και Τουράν διατύπωσαν την ασθενέστερη εικασία ότι κάθε σύνολο ακεραίων με θετική φυσική πυκνότητα περιέχει άπειρο αριθμό αριθμητικών προόδων 3 όρων.<ref name="erdos turan">{{citation|authorlink1=:en:Paul Erdős|first1=Paul|last1=Erdős|authorlink2=:en:Pál Turán|first2=Paul|last2=Turán|title=On some sequences of integers|journal=[[:en:Journal of the London Mathematical Society|Journal of the London Mathematical Society]]|volume=11|issue=4|year=1936|pages=261–264|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1936-05.pdf|doi=10.1112/jlms/s1-11.4.261}}.</ref> Αυτό αποδείχθηκε από τον [[Κλάους Ροθ]] το 1952 και γενικεύτηκε σε αυθαίρετα μεγάλες [[:en:Αριθμητική πρόοδος|αριθμητικές προόδους]] από τον Ζεμερέντι το 1975 σε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα του Ζεμερέντι.

Σε μια ομιλία του 1976 με τίτλο «Στη μνήμη του φίλου και μόνιμου συνεργάτη μου Πολ Τουράν», ο [[Πολ Έρντος]] προσέφερε βραβείο 3000 δολαρίων ΗΠΑ για την απόδειξη αυτής της εικασίας<ref>''Problems in number theory and Combinatorics'', in Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), ''Congress. Numer.'' XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977</ref> Από το 2008 το πρόβλημα αξίζει 5000 δολάρια ΗΠΑ<ref>p. 354, Soifer, Alexander (2008); ''[[:en:The Mathematical Coloring Book|The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators]]''; New York: Springer. ISBN 978-0-387-74640-1</ref>.

==Πρόοδος και συναφή αποτελέσματα==
Η εικασία του Έρντος για την αριθμητική πρόοδο μπορεί να θεωρηθεί ως μια ισχυρότερη εκδοχή του θεωρήματος του Ζεμερέντι. Επειδή το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει, το θεώρημα Γκριν-Τάο για την [[Αριθμητική πρόοδος|αριθμητική πρόοδο]] αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας.

Ο ασθενέστερος ισχυρισμός ότι το ''Α'' πρέπει να περιέχει άπειρες [[Αριθμητική πρόοδος|αριθμητικές πρόοδους]] μήκους 3 είναι συνέπεια ενός βελτιωμένου ορίου στο θεώρημα του Ροθ. Μια εργασία του 2016 από τον Μπλουμ<ref>{{cite journal |last=Bloom |first=Thomas F. |year=2016 |title=A quantitative improvement for Roth's theorem on arithmetic progressions |journal=Journal of the London Mathematical Society |series=Second Series |volume=93 |issue=3 |pages=643–663 |arxiv=1405.5800 |doi=10.1112/jlms/jdw010 |mr=3509957 |s2cid=27536138}}</ref> απέδειξε ότι αν <math>A\subset \{1,..,N\}</math> δεν περιέχει καμία μη τετριμμένη αριθμητική πρόοδο τριών όρων τότε <math>|A|\ll N(\log{\log{N}})/\log{N}</math>.

Το 2020 μια προδημοσίευση των Μπλουμ και Σίσασκ<ref>{{cite arXiv |last1=Bloom |first1=Thomas F. |last2=Sisask |first2=Olof |year=2020 |title=Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions |class=math.NT |eprint=2007.03528}}</ref>  βελτίωσε το όριο σε <math>|A|\ll N/(\log{N})^{1+c}</math> για κάποια απόλυτη σταθερά <math>c>0</math> .

Το 2023 βρέθηκε ένα νέο όριο του <math>\exp(-c(\log N)^{1/12})N</math><ref>{{Cite book |last1=Kelley |first1=Zander |last2=Meka |first2=Raghu |chapter=Strong Bounds for 3-Progressions |date=2023-11-06 |title=2023 IEEE 64th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS) |chapter-url=https://ieeexplore.ieee.org/document/10353076 |publisher=IEEE |pages=933–973 |doi=10.1109/FOCS57990.2023.00059 |isbn=979-8-3503-1894-4|arxiv=2302.05537 }}</ref><ref>{{Cite arXiv |eprint=2302.05537 |class=math.NT |first1=Zander |last1=Kelley |first2=Raghu |last2=Meka |title=Strong Bounds for 3-Progressions |date=2023-02-10}}</ref><ref>{{Cite web |last=Sloman |first=Leila |date=2023-03-21 |title=Surprise Computer Science Proof Stuns Mathematicians |url=https://www.quantamagazine.org/surprise-computer-science-proof-stuns-mathematicians-20230321/ |access-date= |website=Quanta Magazine |language=en}}</ref> από τους επιστήμονες υπολογιστών Κέλεϊ και Μέκα, με μια έκθεση που δόθηκε σε πιο οικεία μαθηματική γλώσσα από τους Μπλουμ και Σίσασκ,<ref>{{Cite journal |last1=Bloom |first1=Thomas F. |last2=Sisask |first2=Olof |date=2023-12-31 |title=The Kelley–Meka bounds for sets free of three-term arithmetic progressions |url=https://msp.org/ent/2023/2-1/p02.xhtml |journal=Essential Number Theory |language=en |volume=2 |issue=1 |pages=15–44 |doi=10.2140/ent.2023.2.15 |issn=2834-4634|arxiv=2302.07211 }}</ref><ref>{{Cite journal |arxiv=2302.07211 |first1=Thomas F. |last1=Bloom |first2=Olof |last2=Sisask |title=The Kelley–Meka bounds for sets free of three-term arithmetic progressions |journal=Essential Number Theory |date=2023-02-14|volume=2 |pages=15–44 |doi=10.2140/ent.2023.2.15 }}</ref> οι οποίοι έκτοτε βελτίωσαν τον εκθέτη του ορίου Κέλι-Μέκα σε <math>\beta=1/9</math> και υπέθεσαν το <math>\beta=5/41</math> σε ένα προτυπωμένο κείμενο.<ref>{{Cite arXiv |eprint=2309.02353 |class=math.NT |first1=Thomas F. |last1=Bloom |first2=Olof |last2=Sisask |title=An improvement to the Kelley-Meka bounds on three-term arithmetic progressions |date=2023-09-05}}</ref>

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός λογάριθμος]]
* [[Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
* [[Πρώτος αριθμός]]
* [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν]]
* [[Προβλήματα του Λαντάου]]
* [[Εικασία του Λεζάντρ]]
* [[Εικασία του Γκόλντμπαχ]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Υπόθεση H του Σίνζελ]]
* [[Συνάρτηση Όιλερ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Graph Theory and Additive Combinatorics: Exploring Structure and Randomness|first=Yufei|last=Zhao|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-009-31094-9|date=2023-08-31|url=https://books.google.gr/books?id=QDHEEAAAQBAJ&pg=PA7&dq=%22Erd%C5%91s+conjecture+on+arithmetic+progressions%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj6uPyL4viKAxXncfEDHX1JBVUQ6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=%22Erd%C5%91s%20conjecture%20on%20arithmetic%20progressions%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Assouad Dimension and Fractal Geometry|first=Jonathan M.|last=Fraser|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-108-47865-6|date=2020-10-29|url=https://books.google.gr/books?id=JPwAEAAAQBAJ&pg=PA215&dq=%22Erd%C5%91s+conjecture+on+arithmetic+progressions%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj6uPyL4viKAxXncfEDHX1JBVUQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=%22Erd%C5%91s%20conjecture%20on%20arithmetic%20progressions%22&f=false}}
* {{Cite book|title=PAULYMATH.|publisher=Lulu.com|isbn=978-1-365-68021-2|url=https://books.google.gr/books?id=LSX4DQAAQBAJ&pg=PR9-IA1&dq=%22Erd%C5%91s+conjecture+on+arithmetic+progressions%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj6uPyL4viKAxXncfEDHX1JBVUQ6AF6BAgEEAI#v=onepage&q=%22Erd%C5%91s%20conjecture%20on%20arithmetic%20progressions%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Ramsey Theory for Product Spaces|first=Pandelis|last=Dodos|first2=Vassilis|last2=Kanellopoulos|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-1-4704-2808-2|date=2016-05-16|url=https://books.google.gr/books?id=nrItDAAAQBAJ&pg=PA235&dq=%22Erd%C5%91s+conjecture+on+arithmetic+progressions%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj6uPyL4viKAxXncfEDHX1JBVUQ6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22Erd%C5%91s%20conjecture%20on%20arithmetic%20progressions%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Computability Theory and Its Applications: Current Trends and Open Problems : Proceedings of a 1999 AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference, Computability Theory and Applications, June 13-17, 1999, University of Colorado, Boulder|first=Peter|last=Cholak|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-1922-7|date=2000|url=https://books.google.gr/books?id=LFUbCAAAQBAJ&pg=PA138&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjTv6OI4_iKAxV8YPEDHaXGD-8Q6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem&f=false}}
* {{Cite book|title=Ergodic Theory|first=Karl E.|last=Petersen|first2=Karl|last2=Petersen|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-38997-6|date=1989-11-23|url=https://books.google.gr/books?id=MiyJGqFCbEMC&pg=PA162&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjTv6OI4_iKAxV8YPEDHaXGD-8Q6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem&f=false}}
* {{Cite book|title=Descriptive Set Theory and Dynamical Systems|first=M.|last=Foreman|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-78644-7|date=2000-05-25|url=https://books.google.gr/books?id=g64TCEiYULAC&pg=PA45&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjTv6OI4_iKAxV8YPEDHaXGD-8Q6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem&f=false}}
* {{Cite book|title=Ramsey Theory for Discrete Structures|first=Hans Jürgen|last=Prömel|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-319-01315-2|date=2013-12-04|url=https://books.google.gr/books?id=EdW4BAAAQBAJ&pg=PA201&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjTv6OI4_iKAxV8YPEDHaXGD-8Q6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem&f=false}}
* {{Cite book|title=Graph Theory and Additive Combinatorics: Exploring Structure and Randomness|first=Yufei|last=Zhao|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-009-31094-9|date=2023-08-31|url=https://books.google.gr/books?id=QDHEEAAAQBAJ&pg=PA7&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem+%C2%A7+Quantitative+bounds,&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwisvKeB5PiKAxUZAhAIHZ9QA64Q6AF6BAgHEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem%20%C2%A7%20Quantitative%20bounds,&f=false}}
* {{Cite book|title=Surveys in Combinatorics 2024|first=Felix|last=Fischer|first2=Robert|last2=Johnson|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-009-49054-2|date=2024-06-13|url=https://books.google.gr/books?id=188KEQAAQBAJ&pg=PA177&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem+%C2%A7+Quantitative+bounds,&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwisvKeB5PiKAxUZAhAIHZ9QA64Q6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem%20%C2%A7%20Quantitative%20bounds,&f=false}}
* {{Cite book|title=Mathematics and Computation: A Theory Revolutionizing Technology and Science|first=Avi|last=Wigderson|publisher=Princeton University Press|isbn=978-0-691-19254-3|date=2019-10-29|url=https://books.google.gr/books?id=9_uqDwAAQBAJ&pg=PA120&dq=Szemer%C3%A9di's+theorem+%C2%A7+Quantitative+bounds,&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwisvKeB5PiKAxUZAhAIHZ9QA64Q6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=Szemer%C3%A9di's%20theorem%20%C2%A7%20Quantitative%20bounds,&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
<references group="note"/>
*P. Erdős: [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1973-24.pdf Résultats et problèmes en théorie de nombres], ''Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres'', Fasc 2., Exp. No. 24, pp.&nbsp;7, 
*P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, ''J. London Math. Soc.'' 11 (1936), 261–264.
*P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., ''Congress Numer.'' '''XVIII'''(1977), 35&ndash;58.
*P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, ''Combinatorica'', '''1'''(1981), 28. {{doi|10.1007/BF02579174}}
*Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
*John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
* {{cite book | last=Pollack | first=Paul | chapter=An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field | pages=259–273 | editor1-last=De Koninck | editor1-first=Jean-Marie | editor1-link=:en:Jean-Marie De Koninck | editor2-last=Granville | editor2-first=Andrew | editor2-link=:en:Andrew Granville | editor3-last=Luca | editor3-first=Florian | title=Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006 | location=Providence, RI | publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]] | series=CRM Proceedings and Lecture Notes | volume=46 | year=2008 | isbn=978-0-8218-4406-9 | zbl=1187.11046 }}

== Πηγές ==
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}
* {{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=:en:John Horton Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=:en:Richard K. Guy|title=The Book of Numbers|publisher=Copernicus|location=New York|isbn=978-0-387-97993-9|year=1996}}
* {{Citation|last1=Crandall|first1=Richard|author1-link=:en:Richard Crandall|last2=Pomerance|first2=Carl|author2-link=:en:Carl Pomerance|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-25282-7|year=2005}}
* {{Cite book|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|first=I. M.|last=Singer|first2=J. A.|last2=Thorpe|publisher=Springer|isbn=978-1-4615-7347-0|date=2015-05-28|url=https://books.google.gr/books?id=8u7LCQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|first=Tom M.|last=Apostol|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-5579-4|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3yoBCAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= [[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]]|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|author1-link=:en:Thomas M. Apostol|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Εικασία Έρντος για τις αριθμητικές προόδους}}

[[Κατηγορία:Αναλυτική θεωρία αριθμών]]
[[Κατηγορία:Εικασίες για πρώτους αριθμούς]]
[[Κατηγορία:Πρώτοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Ακέραιοι αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]