Εικασία Έρντος για τις αριθμητικές προόδους

Από testwiki
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά:

Μήπως κάθε μεγάλο σύνολο φυσικών
αριθμών περιέχει αυθαίρετα
μεγάλες αριθμητικές προόδους;

Η εικασία του Έρντος για τις αριθμητικές προόδους, που συχνά αναφέρεται ως εικασία Έρντος-Τουράν, είναι μια εικασία στην αριθμητική συνδυαστική (δεν πρέπει να συγχέεται με την εικασία Έρντος-Τουράν για τις προσθετικές βάσεις). Δηλώνει ότι αν το άθροισμα των αμοιβαίων των μελών ενός συνόλου Α θετικών ακεραίων αποκλίνει, τότε το Α περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους.

Τυπικά, η εικασία δηλώνει ότι αν το Α είναι ένα μεγάλο σύνολο με την έννοια ότι

∑n∈A1n = ∞,

τότε το Α περιέχει αριθμητικές προόδους οποιουδήποτε μήκους, που σημαίνει ότι για κάθε θετικό ακέραιο k υπάρχει ένας ακέραιος a και ένας μη μηδενικός ακέραιος c τέτοιος ώστε {a,a+c,a+2c,…,a+kc}⊂A.

Το θεώρημα Γκριν-Τάο[1] για τις αριθμητικές πρόοδους πρώτων αριθμών είναι μια ειδική περίπτωση αυτής της εικασίας.

Ιστορία

Το 1936, οι Έρντος και Τουράν διατύπωσαν την ασθενέστερη εικασία ότι κάθε σύνολο ακεραίων με θετική φυσική πυκνότητα περιέχει άπειρο αριθμό αριθμητικών προόδων 3 όρων.[2] Αυτό αποδείχθηκε από τον Κλάους Ροθ το 1952 και γενικεύτηκε σε αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους από τον Ζεμερέντι το 1975 σε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα του Ζεμερέντι.

Σε μια ομιλία του 1976 με τίτλο «Στη μνήμη του φίλου και μόνιμου συνεργάτη μου Πολ Τουράν», ο Πολ Έρντος προσέφερε βραβείο 3000 δολαρίων ΗΠΑ για την απόδειξη αυτής της εικασίας[3] Από το 2008 το πρόβλημα αξίζει 5000 δολάρια ΗΠΑ[4].

Πρόοδος και συναφή αποτελέσματα

Η εικασία του Έρντος για την αριθμητική πρόοδο μπορεί να θεωρηθεί ως μια ισχυρότερη εκδοχή του θεωρήματος του Ζεμερέντι. Επειδή το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει, το θεώρημα Γκριν-Τάο για την αριθμητική πρόοδο αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας.

Ο ασθενέστερος ισχυρισμός ότι το Α πρέπει να περιέχει άπειρες αριθμητικές πρόοδους μήκους 3 είναι συνέπεια ενός βελτιωμένου ορίου στο θεώρημα του Ροθ. Μια εργασία του 2016 από τον Μπλουμ[5] απέδειξε ότι αν A⊂{1,..,N} δεν περιέχει καμία μη τετριμμένη αριθμητική πρόοδο τριών όρων τότε |A|≪N(log⁡log⁡N)/log⁡N.

Το 2020 μια προδημοσίευση των Μπλουμ και Σίσασκ[6] βελτίωσε το όριο σε |A|≪N/(log⁡N)1+c για κάποια απόλυτη σταθερά c>0 .

Το 2023 βρέθηκε ένα νέο όριο του exp⁡(−c(log⁡N)1/12)N[7][8][9] από τους επιστήμονες υπολογιστών Κέλεϊ και Μέκα, με μια έκθεση που δόθηκε σε πιο οικεία μαθηματική γλώσσα από τους Μπλουμ και Σίσασκ,[10][11] οι οποίοι έκτοτε βελτίωσαν τον εκθέτη του ορίου Κέλι-Μέκα σε β=1/9 και υπέθεσαν το β=5/41 σε ένα προτυπωμένο κείμενο.[12]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

  • P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
  • P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
  • P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35–58.
  • P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. Πρότυπο:Doi
  • Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
  • John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
  • Πρότυπο:Cite book

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

  1. ↑ Ben J. Green et Terence Tao, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », Annals of Mathematics, vol. 167, 2008, p. 481-547 (arXiv math.NT/0404188).
  2. ↑ Πρότυπο:Citation.
  3. ↑ Problems in number theory and Combinatorics, in Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), Congress. Numer. XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977
  4. ↑ p. 354, Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. ISBN 978-0-387-74640-1
  5. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  6. ↑ Πρότυπο:Cite arXiv
  7. ↑ Πρότυπο:Cite book
  8. ↑ Πρότυπο:Cite arXiv
  9. ↑ Πρότυπο:Cite web
  10. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  11. ↑ Πρότυπο:Cite journal
  12. ↑ Πρότυπο:Cite arXiv
Ανακτήθηκε από «https://el.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Εικασία_Έρντος_για_τις_αριθμητικές_προόδους&oldid=3066»