Προβλήματα του Λαντάου

Στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών του 1912, ο Έντμουντ Λαντάου απαρίθμησε τέσσερα βασικά προβλήματα που σχετίζονται με τους πρώτους αριθμούς. Τα προβλήματα αυτά χαρακτηρίστηκαν στην ομιλία του ως «μη επιλήψιμα στην παρούσα κατάσταση των μαθηματικών» και είναι πλέον γνωστά ως προβλήματα του Λαντάου^[1]. Είναι τα εξής:

Η εικασία του Γκόλντμπαχ: Μπορεί κάθε ζυγός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών;
Η Εικασία των δίδυμων πρώτων: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί p έτσι ώστε ο p + 2 να είναι πρώτος;
Η Εικασία του Λεζάντρ: Υπάρχει πάντα τουλάχιστον ένας πρώτος μεταξύ διαδοχικών τέλειων τετραγώνων;
Υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι p τέτοιοι ώστε το p − 1 να είναι τέλειο τετράγωνο; Με άλλα λόγια: Υπάρχουν άπειροι πολλοί πρώτοι αριθμοί της μορφής n² + 1 ;

Το 2024, αυτά τα τέσσερα προβλήματα δεν έχουν επιλυθεί.

Πρόοδος προς τις λύσεις

Η εικασία του Γκόλντμπαχ

Κύριο άρθρο: Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η αδύναμη εικασία του Γκόλντμπαχ, κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών, είναι συνέπεια της εικασίας του Γκόλντμπαχ. Ο Ιβάν Βινογκράντοφ το απέδειξε για αρκετά μεγάλο n (θεώρημα του Βινογκράντοφ) το 1937^[2] και ο Χάραλντ Χέλφγκοτ το επέκτεινε σε πλήρη απόδειξη της αδύναμης εικασίας του Γκόλντμπαχ το 2013.^[3]^[4]^[5]

Το θεώρημα του Τσεν, μια άλλη αποδυνάμωση της εικασίας του Γκόλντμπαχ, αποδεικνύει ότι για όλα τα επαρκώς μεγάλα n, $2 n = p + q$ όπου p είναι πρώτος και q είναι είτε πρώτος είτε ημιπρώτος.^{[note 1]} Μπορντινγιόν, Τζόνστον και Σταρίτσκοβα,^[6] διορθώνοντας και τελειοποιώντας τον Γιαμάντα,^[7] απέδειξαν μια ρητή εκδοχή του θεωρήματος του Τσεν: κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από $e^{e^{32, 7}} \approx 1.4 \cdot 1 0^{69057979807814}$ είναι το άθροισμα ενός πρώτου αριθμού και ενός γινομένου δύο το πολύ πρώτων αριθμών.^[8] Οι Μπορντινγιόν και Σταρίτσκοβα το ανάγουν σε $e^{e^{15.85}} \approx 3.6 \cdot 1 0^{3321634}$ υποθέτοντας τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν (GRH) για τις συναρτήσεις Ντίρικλετ Λ. Οι Τζόνσον και Στάριτσκοβα δίνουν μια εκδοχή που λειτουργεί για όλα τα n ≥ 4 με το κόστος της χρήσης ενός αριθμού που είναι το γινόμενο το πολύ 369 πρώτων αριθμών αντί για έναν πρώτο ή ημιπρώτο- υπό την GRH βελτιώνουν το 369 σε 33.^[9]

Οι Μοντγκόμερι και Βόγκαν έδειξαν ότι το εξαιρετικό σύνολο των ζυγών αριθμών που δεν μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών έχει πυκνότητα μηδέν, αν και δεν έχει αποδειχθεί ότι το σύνολο είναι πεπερασμένο^[10]. Τα καλύτερα τρέχοντα όρια για το ξεχωριστό σύνολο είναι το $E (x) < x^{0.72}$ (για αρκετά μεγάλο x) που οφείλεται στον Πιντζ,^[11]^[12] και $E (x) ≪ x^{0.5} \log^{3} x$ υπό την υπόθεση Ρίμαν, που οφείλεται στον Ντάνιελ Γκόλντστον.^[13]

Ο Λίνικ απέδειξε ότι αρκετά μεγάλοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών και κάποιας (αναποτελεσματικής) σταθεράς Κ δυνάμεων του 2.^[14] Μετά από πολλές εξελίξεις (βλέπε Πιντζ^[15] για μια επισκόπηση), οι Πιντζ και Ρούζα^[16] το βελτίωσαν σε Κ = 8. Υποθέτοντας την (GRH ), το αποτέλεσμα μπορεί να βελτιωθεί σε Κ = 7.^[17]

Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί

Κύριο άρθρο: Εικασία των δίδυμων πρώτων

Το 2013 ο Γιτάνγκ Ζανγκ έδειξε^[18] ότι υπάρχουν άπειρα πολλά ζεύγη πρώτων αριθμών με κενό που περιορίζεται από 70 εκατομμύρια, και το αποτέλεσμα αυτό βελτιώθηκε σε κενά μήκους 246 από μια συνεργατική προσπάθεια του Polymath Project^[19] Σύμφωνα με τη γενικευμένη εικασία των Έλιοτ-Χάλμπερσταμ αυτό βελτιώθηκε σε 6, επεκτείνοντας προηγούμενες εργασίες του Μέιναρντ^[20] και των Γκόλντστον, Πιντζ και Γιλντιρίμ^[21].

Το 1966 ο Τσεν απέδειξε ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί p (που αργότερα ονομάστηκαν πρώτοι αριθμοί Τσεν) έτσι ώστε ο p + 2 να είναι είτε πρώτος είτε ημιπρώτος.

Εικασία του Λεζάντρ

Κύριο άρθρο: Εικασία του Λεζάντρ

Αρκεί να ελέγξουμε ότι κάθε πρώτο κενό που ξεκινά από το p είναι μικρότερο από $2 \sqrt{p}$ . Ένας πίνακας μέγιστων πρώτων κενών δείχνει ότι η εικασία ισχύει για 2⁶⁴ ≈ 1.8×10Πρότυπο:E.^[22] Ένα αντιπαράδειγμα κοντά σε αυτό το μέγεθος θα απαιτούσε ένα πρώτο κενό εκατό εκατομμύρια φορές μεγαλύτερο από το μέσο κενό.

Ο Τζερβινιέμι (Järviniemi),^[23] βελτιώνοντας την εργασία του Χιθ-Μπράουν^[24]και του Ματομάκι,^[25] δείχνει ότι υπάρχουν το πολύ $x^{7 / 100 + ε}$ εξαιρετικοί πρώτοι αριθμοί που ακολουθούνται από κενά μεγαλύτερα από $\sqrt{2 p}$ ειδικότερα,

\sum_{\overset{p_{n + 1} - p_{n} > {\sqrt{p_{n}}}^{1 / 2}}{p_{n} \leq x}} p_{n + 1} - p_{n} ≪ x^{0.57 + ε} .

Ένα αποτέλεσμα που οφείλεται στον Άλμπερτ Ίνγκαμ δείχνει ότι υπάρχει ένας πρώτος αριθμός μεταξύ $n^{3}$ και $(n + 1)^{3}$ για κάθε αρκετά μεγάλο n.^[26]

Κοντινοί τετραγωνικοί πρώτοι

Το τέταρτο πρόβλημα του Λαντάου ρωτούσε αν υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί που έχουν τη μορφή $p = n^{2} + 1$ για ακέραιο n. (Ο κατάλογος των γνωστών πρώτων αριθμών αυτής της μορφής είναι Πρότυπο:OEIS link.) Η ύπαρξη απείρως πολλών τέτοιων πρώτων αριθμών θα προέκυπτε ως συνέπεια άλλων αριθμοθεωρητικών εικασιών, όπως η εικασία Μπουνιακόφσκι και η εικασία Μπέιτμαν-Χορν. Από το 2024, το πρόβλημα αυτό είναι ανοικτό.

Ένα παράδειγμα πλησίον τετραγωνικών πρώτων αριθμών είναι οι πρώτοι αριθμοί του Φερμά. Ο Χένρικ Ιβάνιεκ έδειξε ότι υπάρχουν άπειροι αριθμοί της μορφής $n^{2} + 1$ με το πολύ δύο πρώτους παράγοντες.^[27]^[28] Οι Άνκενι^[29] και Κουμπίλιους^[30] απέδειξαν ότι, υποθέτοντας την εκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν για τις συναρτήσεις L στους χαρακτήρες Χέκε, υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί της μορφής $p = x^{2} + y^{2}$ με $y = O (\log p)$ . Η εικασία του Λαντάου είναι για την ισχυρότερη $y = 1$ . Το καλύτερο άνευ όρων αποτέλεσμα οφείλεται στους Χάρμαν και Λιούις.^[31] και δίνει $y = O (p^{0.119})$ .

Ο Μερικόσκι,^[32] βελτιώνοντας προηγούμενες εργασίες,^[33]^[34]^[35]^[36]^[37] έδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πολλοί αριθμοί της μορφής $n^{2} + 1$ με μεγαλύτερο πρώτο παράγοντα τουλάχιστον $n^{1.279}$ .^{[note 2]} Αν αντικαταστήσουμε τον εκθέτη με 2 θα προκύψει η εικασία του Λαντάου.

Το θεώρημα Φρίντλαντερ-Ίβανιτς αποδεικνύει ότι απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί είναι της μορφής $x^{2} + y^{4}$ .^[38]

Οι Μπάγερ και Ζάο^[39] απέδειξαν ότι υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί της μορφής $p = a n^{2} + 1$ με $a < p^{5 / 9 + ε}$ , ο εκθέτης μπορεί να βελτιωθεί σε $1 / 2 + ε$ σύμφωνα με τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τις συναρτήσεις L και σε $ε$ σύμφωνα με μια ορισμένη υπόθεση τύπου Έλιοτ-Χάλμπερσταμ.

Το κόσκινο Μπρυν (Brun) δημιουργεί ένα ανώτερο όριο για την πυκνότητα των πρώτων αριθμών που έχουν τη μορφή $p = n^{2} + 1$ : υπάρχουν $O (\sqrt{x} / \log x)$ τέτοιοι πρώτοι αριθμοί μέχρι $x$ . Επομένως, σχεδόν όλοι οι αριθμοί της μορφής $n^{2} + 1$ είναι σύνθετοι.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πρότυπο:Reflist

↑ Ο ημιπρώτος είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι το γινόμενο δύο πρώτων παραγόντων.
↑ Merikoski gives two conjectures which would improve the exponent to 1.286 or 1.312, respectively.

Πρότυπο:Citation.

Πρότυπο:Citation.

Πρότυπο:Citation. Here the author explains in what sense the problem of Hilbert–Polya is related with the problem of the Gutzwiller trace formula and what would be the value of the sum $\exp (i γ)$ taken over the imaginary parts of the zeros.
Πρότυπο:Cite book

Πηγές

Πρότυπο:Portal bar Πρότυπο:Authority control

↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite book
↑ Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 math.NT..
↑ Πρότυπο:Cite arXiv
↑ Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 math.NT.
↑ Bordignon, Matteo; Johnston, Daniel R.; Starichkova, Valeriia (2022). "An explicit version of Chen's theorem". arXiv:2207.09452 math.NT.
↑ Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409 math.NT.
↑ Bordignon, Matteo; Starichkova, Valeriia (2022). "An explicit version of Chen's theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis". arXiv:2211.08844 math.NT.
↑ Johnston, Daniel R.; Starichkova, Valeriia V. (2022). "Some explicit results on the sum of a prime and an almost prime". arXiv:2208.01229 math.NT.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ {Pintz, Janos (2018). "A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem". arXiv:1804.09084 math.NT.
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Πρότυπο:Cite conference
↑ Yu V Linnik, Prime numbers and powers of two, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova 38 (1951), pp. 152-169.
↑ János Pintz, Approximations to the Goldbach and twin prime problem and gaps between consecutive primes, Probability and Number Theory (Kanazawa, 2005), Advanced Studies in Pure Mathematics 49, pp. 323–365. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Heath-Brown, D.R.; Puchta, J.-C. (2002). "Integers Represented as a Sum of Primes and Powers of Two". arXiv:math/0201299.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ D.H.J. Polymath (2014). "Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes". Research in the Mathematical Sciences. 1 (12): 12. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710. S2CID 119699189.
↑ James, Maynard (2013). "Small gaps between primes". arXiv:1311.4600 math.NT.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite web
↑ Järviniemi, Olli (2022). "On large differences between consecutive primes". arXiv:2212.10965 math.NT.
↑ Heath-Brown, Roger (October 2020). "The Differences Between Consecutive Primes, V". International Mathematics Research Notices. 2021 (22): 17514–17562. arXiv:1906.09555. doi:10.1093/imrn/rnz295.
↑ Πρότυπο:Cite journal.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, On the greatest prime factor of $n^{2} + 1$ , Annales de l'Institut Fourier 32:4 (1982), pp. 1–11.
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ Πρότυπο:Cite journal
↑ J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367.
↑ Πρότυπο:Cite journal.
↑ Πρότυπο:Cite journal

[6] Ο ημιπρώτος είναι ένας φυσικός αριθμός που είναι το γινόμενο δύο πρώτων παραγόντων.

[39] Merikoski gives two conjectures which would improve the exponent to 1.286 or 1.312, respectively.

[1] Πρότυπο:Cite web

[2] Πρότυπο:Cite book

[3] Helfgott, H.A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 math.NT..

[4] Πρότυπο:Cite arXiv

[5] Helfgott, H.A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 math.NT.

[7] Bordignon, Matteo; Johnston, Daniel R.; Starichkova, Valeriia (2022). "An explicit version of Chen's theorem". arXiv:2207.09452 math.NT.

[8] Yamada, Tomohiro (2015-11-11). "Explicit Chen's theorem". arXiv:1511.03409 math.NT.

[9] Bordignon, Matteo; Starichkova, Valeriia (2022). "An explicit version of Chen's theorem assuming the Generalized Riemann Hypothesis". arXiv:2211.08844 math.NT.

[10] Johnston, Daniel R.; Starichkova, Valeriia V. (2022). "Some explicit results on the sum of a prime and an almost prime". arXiv:2208.01229 math.NT.

[11] Πρότυπο:Cite journal

[12] {Pintz, Janos (2018). "A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem". arXiv:1804.09084 math.NT.

[13] Πρότυπο:Cite web

[14] Πρότυπο:Cite conference

[15] Yu V Linnik, Prime numbers and powers of two, Trudy Matematicheskogo Instituta imeni VA Steklova 38 (1951), pp. 152-169.

[16] János Pintz, Approximations to the Goldbach and twin prime problem and gaps between consecutive primes, Probability and Number Theory (Kanazawa, 2005), Advanced Studies in Pure Mathematics 49, pp. 323–365. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.

[17] Πρότυπο:Cite journal

[18] Heath-Brown, D.R.; Puchta, J.-C. (2002). "Integers Represented as a Sum of Primes and Powers of Two". arXiv:math/0201299.

[19] Πρότυπο:Cite journal

[20] D.H.J. Polymath (2014). "Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes". Research in the Mathematical Sciences. 1 (12): 12. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710. S2CID 119699189.

[21] James, Maynard (2013). "Small gaps between primes". arXiv:1311.4600 math.NT.

[22] Πρότυπο:Cite journal

[23] Πρότυπο:Cite web

[24] Järviniemi, Olli (2022). "On large differences between consecutive primes". arXiv:2212.10965 math.NT.

[25] Heath-Brown, Roger (October 2020). "The Differences Between Consecutive Primes, V". International Mathematics Research Notices. 2021 (22): 17514–17562. arXiv:1906.09555. doi:10.1093/imrn/rnz295.

[26] Πρότυπο:Cite journal.

[27] Πρότυπο:Cite journal

[28] Πρότυπο:Cite journal

[29] Πρότυπο:Cite journal

[30] Πρότυπο:Cite journal

[31] Πρότυπο:Cite journal

[32] Πρότυπο:Cite journal

[33] Πρότυπο:Cite journal

[34] Πρότυπο:Cite journal

[35] Jean-Marc Deshouillers and Henryk Iwaniec, On the greatest prime factor of $n^{2} + 1$ , Annales de l'Institut Fourier 32:4 (1982), pp. 1–11.

[36] Πρότυπο:Cite journal

[37] Πρότυπο:Cite journal

[38] J. Ivanov, Uber die Primteiler der Zahlen vonder Form A+x^2, Bull. Acad. Sci. St. Petersburg 3 (1895), 361–367.

[40] Πρότυπο:Cite journal.

[41] Πρότυπο:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[note 2]

[38]

[39]

Προβλήματα του Λαντάου

Περιεχόμενα

Πρόοδος προς τις λύσεις

Η εικασία του Γκόλντμπαχ

Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί

Εικασία του Λεζάντρ

Κοντινοί τετραγωνικοί πρώτοι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Προβλήματα του Λαντάου

Πρόοδος προς τις λύσεις

Η εικασία του Γκόλντμπαχ

Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί

Εικασία του Λεζάντρ

Κοντινοί τετραγωνικοί πρώτοι

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

Παραπομπές

Πηγές

Μενού πλοήγησης

Αναζήτηση