Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Εικασία του Όιλερ

Στη [[Θεωρία αριθμών|θεωρία των αριθμών]], η '''εικασία του Όιλερ''' είναι μια διαψευσμένη εικασία που σχετίζεται με το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]]. Προτάθηκε από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]] το 1769. Δηλώνει ότι για όλους τους [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιους αριθμούς]] {{mvar|n}} και {{mvar|k}} μεγαλύτερους από 1, αν το άθροισμα {{mvar|n}} πολλών  δυνάμεων {{mvar|k}}-th θετικών ακεραίων αριθμών είναι η ίδια μια {{mvar|k}}-th δύναμη, τότε ο {{mvar|n}} είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον {{mvar|k}}: 

<math >a_1^k + a_2^k + \dots + a_n^k = b^k \implies n \ge k</math>

Η εικασία αποτελεί μια προσπάθεια γενίκευσης του [[Τελευταίο θεώρημα του Φερμά|τελευταίου θεωρήματος του Φερμά]], το οποίο είναι η ειδική περίπτωση {{math|''n''' {{=}} 2}}: αν <math>a_1^k + a_2^k = b^k,</math> τότε {{math|2 ≥ ''k''}}.

Αν και η εικασία ισχύει για την περίπτωση {{math|''k'' {{=}} 3}} (η οποία προκύπτει από το [[τελευταίο θεώρημα του Φερμά]] για τις τρίτες δυνάμεις), διαψεύστηκε για {{math|''k'' {{=}} 4}} και {{math|''k'' {{=}} 5}}. Είναι άγνωστο αν η εικασία αποτυγχάνει ή αν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή {{math|''k'' ≥ 6}}.

==Ιστορικό==

Ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] γνώριζε την ισότητα {{nowrap|59{{sup|4}} + 158{{sup|4}} {{=}} 133{{sup|4}} + 134{{sup|4}}}} που περιλαμβάνει αθροίσματα τεσσάρων τετάρτων δυνάμεων- αυτό, ωστόσο, δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα επειδή κανένας όρος δεν απομονώνεται στη μία πλευρά της εξίσωσης. Παρέσχε επίσης μια πλήρη λύση στο πρόβλημα των τεσσάρων κύβων, όπως στον αριθμό του Πλάτωνα {{nowrap|3{{sup|3}} + 4{{sup|3}} + 5{{sup|3}} {{=}} 6{{sup|3}}}} ή στον [[Αριθμοί των Ταξί|αριθμό του ταξί]] 1729.<ref>{{cite book|editor-last=Dunham|editor-first=William|year=2007|title=The Genius of Euler: Reflections on His Life and Work|publisher=The MAA|isbn=978-0-88385-558-4|page=220|url=https://books.google.com/books?id=M4-zUnrSxNoC&pg=PA220}}</ref><ref>{{cite web |last=Titus, III |first=Piezas |year=2005 |title=Euler's Extended Conjecture |url=http://www.oocities.org/titus_piezas/Equalsums.htm }}</ref> Η γενική λύση της εξίσωσης  <math>x_1^3+x_2^3=x_3^3+x_4^3</math>
is

<math >\begin{align}
  x_1 &=\lambda( 1-(a-3b)(a^2+3b^2)) \\[2pt]
  x_2 &=\lambda( (a+3b)(a^2+3b^2)-1 )\\[2pt]
  x_3 &=\lambda( (a+3b)-(a^2+3b^2)^2 )\\[2pt]
  x_4 &= \lambda( (a^2+3b^2)^2-(a-3b))
\end{align}</math>

όπου {{mvar|a}}, {{mvar|b}} και <math>{\lambda}</math> είναι οποιοιδήποτε [[Ρητός αριθμός|ρητοί αριθμοί]].

== Αντιπαραδείγματα ==
Η εικασία του Όιλερ διαψεύστηκε από τους Λέον Τζ. Λάντερ (Leon J. Lander) και Τόμας Ρ. Πάρκιν (Thomas R. Parkin) το 1966 όταν, μέσω μιας άμεσης αναζήτησης σε υπολογιστή σε ένα [[CDC 6600]], βρήκαν ένα αντιπαράδειγμα για {{math|''k'' {{=}} 5}}.<ref name="LanderParkin">{{cite journal |last1=Lander |first1=L. J. |last2=Parkin |first2=T. R. |year=1966 |title=Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers |journal=Bull. Amer. Math. Soc. |doi=10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 |volume=72 |issue=6 |page=1079|doi-access=free }}</ref> Αυτό δημοσιεύτηκε σε μια εργασία που περιλάμβανε μόλις δύο προτάσεις.<ref name="LanderParkin" /> Είναι γνωστά συνολικά τρία βασικά αντιπαραδείγματα  (δηλαδή στα οποία τα αθροίσματα δεν έχουν όλα κοινό παράγοντα) αντιπαραδείγματα:

<math>\begin{align}
  144^5 &= 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 \\
  14132^5 &= (-220)^5 + 5027^5 + 6237^5 + 14068^5 \\
  85359^5 &= 55^5 + 3183^5 + 28969^5 + 85282^5
\end{align}</math>

(Λάντερ & Πάρκιν, 1966)-( Σέρ & Σέιντλ, 1996)-( Φράι, 2004). 

Το 1988, ο Νόαμ Έλκις δημοσίευσε μια μέθοδο για την κατασκευή μιας άπειρης ακολουθίας αντιπαραδειγμάτων για την {{math|''k'' {{=}} 4}} <ref name="Elkies1988">{{cite journal |last=Elkies |first=Noam |year=1988 |title=On ''A''<sup>4</sup> + ''B''<sup>4</sup> + ''C''<sup>4</sup> = ''D''<sup>4</sup> |journal=[[Mathematics of Computation]] |doi=10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 |mr=0930224 |jstor=2008781 |volume=51 |issue=184 |pages=825–835 |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1988-51-184/S0025-5718-1988-0930224-9/S0025-5718-1988-0930224-9.pdf |doi-access=free }}</ref> Το μικρότερο αντιπαράδειγμά του ήταν

<math >20615673^4 = 2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4.</math>  

Μια ειδική περίπτωση των λύσεων του Έλκις μπορεί να αναχθεί στην ταυτότητα <ref>{{cite web |title=Elkies' ''a''<sup>4</sup>+''b''<sup>4</sup>+''c''<sup>4</sup> = ''d''<sup>4</sup> |url=https://groups.google.com/group/sci.math/browse_thread/thread/15beef75eaddcb1b?hl=en#}}</ref><ref>{{cite book|year = 2010|chapter = Sums of Three Fourth Powers (Part 1)|title = A Collection of Algebraic Identities|first = Tito|last = Piezas III|chapter-url = http://sites.google.com/site/tpiezas/014|access-date = April 11, 2022}}</ref>
<math >(85v^2 + 484v - 313)^4 + (68v^2 - 586v + 10)^4 + (2u)^4 = (357v^2 - 204v + 363)^4,</math>
where
<math >u^2 = 22030 + 28849v - 56158v^2 + 36941v^3 - 31790v^4.</math>

Πρόκειται για μια [[ελλειπτική καμπύλη]] με ένα ρητό σημείο στο {{math|''v''<sub>1</sub> {{=}} −{{sfrac|31|467}}}}.  Από αυτό το αρχικό ρητό σημείο, μπορεί κανείς να υπολογίσει μια άπειρη συλλογή άλλων. Αντικαθιστώντας το {{math|''v''<sub>1</sub>}} στην ταυτότητα και αφαιρώντας τους κοινούς παράγοντες προκύπτει το αριθμητικό παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω. 

Το 1988, ο Ρότζερ Φράι βρήκε το μικρότερο δυνατό αντιπαράδειγμα 

<math >95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4</math> 

για {{math|''k'' {{=}} 4}} με άμεση αναζήτηση σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας τεχνικές που πρότεινε ο Έλκις. Αυτή η λύση είναι η μόνη με τιμές των μεταβλητών κάτω από 1.000.000.<ref>{{citation
 | last = Frye | first = Roger E.
 | year = 1988
 | title = Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications
 | contribution = Finding 95800<sup>4</sup> + 217519<sup>4</sup> + 414560<sup>4</sup> = 422481<sup>4</sup> on the Connection Machine
 | doi = 10.1109/SUPERC.1988.74138
 | pages = 106–116| s2cid = 58501120
 }}</ref>

== Γενικεύσεις ==
[[File:Plato_number.svg|thumb|250px|Μια ερμηνεία του αριθμού του Πλάτωνα, {{nowrap|3³ + 4³ + 5³ {{=}} 6³}}]]

Το 1967, οι Λ. Τζ. Λάντερ, Τ. Ρ. Πάρκιν και Τζον Σέλφριτζ υπέθεσαν ότι <ref name="autogenerated446">{{cite journal |last1=Lander |first1=L. J. |last2=Parkin |first2=T. R. |last3=Selfridge |first3=J. L. |year=1967 |title=A Survey of Equal Sums of Like Powers |journal=[[Mathematics of Computation]] |doi=10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 |jstor=2003249 |volume=21 |issue=99 |pages=446–459 |doi-access=free }}</ref> ότι εάν

:<math>\sum_{i=1}^{n} a_i^k = \sum_{j=1}^{m} b_j^k</math>,
όπου {{math|''a<sub>i</sub>'' ≠ ''b<sub>j</sub>''}} είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί για όλα τα {{math|1 ≤ ''i'' ≤ ''n''}} και {{math|1 ≤ ''j'' ≤ ''m''}}, τότε {{math|''m'' + ''n'' ≥ ''k''}}.   Στην ειδική περίπτωση {{math|''m'' {{=}} 1}}, η εικασία δηλώνει ότι αν
:<math>\sum_{i=1}^{n} a_i^k = b^k</math>

(υπό τις συνθήκες που δόθηκαν παραπάνω) τότε {{math|''n''' ≥ ''k'' - 1}}.

Η ειδική περίπτωση μπορεί να περιγραφεί ως το πρόβλημα της κατανομής μιας τέλειας δύναμης σε λίγες ομοειδείς δυνάμεις.  Για

{{math|''k'' {{=}} 4, 5, 7, 8}} και {{math|''n'' {{=}} ''k''}} ή {{math|''k'' − 1}} υπάρχουν πολλές γνωστές λύσεις.  Μερικές από αυτές παρατίθενται παρακάτω. 

Δείτε {{OEIS2C|A347773}} για περισσότερα δεδομένα

==={{math|''k'' {{=}} 3}}===
::{{nowrap|3{{sup|3}} + 4{{sup|3}} + 5{{sup|3}} {{=}} 6{{sup|3}}}} ([[Αριθμός του Πλάτωνος]] 216)

:Αυτή είναι η περίπτωση {{math|1=''a'' = 1}}, {{math|1=''b'' = 0}} του τύπου του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν<ref name=Weisstein>{{cite web| url = http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation3rdPowers.html| title = MathWorld : Diophantine Equation--3rd Powers}}</ref> 
<math >(3a^2+5ab-5b^2)^3 + (4a^2-4ab+6b^2)^3 + (5a^2-5ab-3b^2)^3 = (6a^2-4ab+4b^2)^3</math>

:Ένας κύβος ως άθροισμα τριών κύβων μπορεί επίσης να παραμετροποιηθεί με έναν από τους δύο τρόπους:<ref name=Weisstein/>
<math >\begin{align}
a^3(a^3+b^3)^3	&=	b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3 \\[6pt]
a^3(a^3+2b^3)^3	&=	a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3
\end{align}</math>

:Ο αριθμός 2 100 000<sup>3</sup> μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών κύβων με εννέα διαφορετικούς τρόπους.<ref name=Weisstein/>

==={{math|''k'' {{=}} 4}}===
<math >\begin{align}
  422481^4 &= 95800^4 + 217519^4 + 414560^4 \\[4pt]
  353^4 &= 30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4
\end{align}</math>

(Ρ. Φράι, 1988);<ref name="Elkies1988"/> (Ρ. Νόρι, Σμαλεστ, 1911).<ref name="autogenerated446"/>

==={{math|''k'' {{=}} 5}}===
<math >\begin{align}
  144^5  &= 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 \\[2pt]
  72^5 &= 19^5 + 43^5 + 46^5 + 47^5 + 67^5 \\[2pt]
  94^5 &= 21^5 + 23^5 + 37^5 + 79^5 + 84^5 \\[2pt] 
  107^5 &= 7^5 + 43^5 + 57^5 + 80^5 + 100^5
\end{align}</math>

((Λάντερ & Πάρκιν, 1966)-<ref name="mathologer">{{cite web |url=https://www.youtube.com/watch?v=AO-W5aEJ3Wg | archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/AO-W5aEJ3Wg| archive-date=2021-12-11 | url-status=live|title=Euler's and Fermat's last theorems, the Simpsons and CDC6600 |author=Burkard Polster |website=[[YouTube]] |date=March 24, 2018 |work=[[Mathologer]] --> |type=video |access-date=2018-03-24}}{{cbignore}}</ref><ref>{{cite web| url = https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation5thPowers.html| title = MathWorld: Diophantine Equation--5th Powers}}</ref><ref>{{cite web| url = https://pat7.com/jp/s515-10007-t| title = A Table of Fifth Powers equal to Sums of Five Fifth Powers}}</ref> (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, μικρότερο, 1967)-<ref name="autogenerated446"/>  (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, δεύτερο μικρότερο, 1967)-[8] (Σάστρι, 1934, τρίτο μικρότερο)<ref name="autogenerated446"/>.

==={{math|''k'' {{=}} 6}}===
Είναι γνωστό από το 2002 ότι δεν υπάρχουν λύσεις για {{math|1=''k'' = 6}} των οποίων ο τελικός όρος είναι ≤ 730000.<ref>Giovanni Resta and Jean-Charles Meyrignac (2002). [https://www.ams.org/journals/mcom/2003-72-242/S0025-5718-02-01445-X/S0025-5718-02-01445-X.pdf The Smallest Solutions to the Diophantine Equation <math>a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6+y^6</math>], Mathematics of Computation, v. 72, p. 1054 (See '''further work''' section).</ref>

==={{math|''k'' {{=}} 7}}===
<math >568^7 = 127^7 + 258^7 + 266^7 + 413^7 + 430^7 + 439^7 + 525^7</math>

(M. Ντόντριλ, 1999).<ref>{{cite web| url = https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation7thPowers.html| title = MathWorld: Diophantine Equation--7th Powers}}</ref>

==={{math|''k'' {{=}} 8}}===
<math >1409^8 = 90^8 + 223^8 + 478^8 + 524^8 + 748^8 + 1088^8 + 1190^8 + 1324^8 </math>

(Σ. Τσέις, 2000).<ref>{{cite web| url = https://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation8thPowers.html| title = MathWorld: Diophantine Equation--8th Powers}}</ref>

== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
* [https://mtzoumas.mysch.gr/mtz/docs_and_apps/Didaskalia/bibl_kath_geom.pdf Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο]
* [https://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/20405 Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών]
* [https://repository.kallipos.gr/bitstream/11419/107/5/NumberTheory30Sep.pdf Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές]
* [https://repository.kallipos.gr/handle/11419/1045 Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών]

== Δείτε επίσης ==
* [[Θεωρία αριθμών]]
* [[Αλγεβρική θεωρία αριθμών]]
* [[Φυσικός λογάριθμος]]
* [[Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[e (μαθηματική σταθερά)]]
* [[Πυθαγόρεια τετράδα]]
* [[Άρτιοι και περιττοί αριθμοί]]
* [[Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί]]
* [[Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν]]
* [[Προβλήματα του Λαντάου]]
* [[Αριθμοί των Ταξί]]
* [[Εικασία του Γκόλντμπαχ]]
* [[Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής]]
* [[Αλγεβρική γεωμετρία]]
* [[Υπόθεση H του Σίνζελ]]
* [[Συνάρτηση Όιλερ]]
* [[Ευκλείδειος χώρος]]

== Βιβλιογραφία==
* {{Cite book|title=Introduction to Mathematical Proofs: A Transition|first=Charles|last=Roberts|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-6956-3|date=2009-06-24|url=https://books.google.gr/books?id=NjBLnLyE4jAC&pg=PA102&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwie9aDk-P2KAxXgB9sEHQzwNF4Q6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics|first=Eric W.|last=Weisstein|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4200-3522-3|date=2002-12-12|url=https://books.google.gr/books?id=D_XKBQAAQBAJ&pg=PA964&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwie9aDk-P2KAxXgB9sEHQzwNF4Q6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Analytic Number Theory: Proceedings of a Conference Held at Temple University, Philadelphia, May 12-15, 1980|first=Marvin I.|last=Knopp|publisher=Springer|isbn=978-3-540-38953-8|date=2006-11-14|url=https://books.google.gr/books?id=9YR8CwAAQBAJ&pg=PA196&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwie9aDk-P2KAxXgB9sEHQzwNF4Q6AF6BAgGEAI#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Solved and Unsolved Problems of Structural Chemistry|first=Milan|last=Randic|first2=Marjana|last2=Novic|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4987-1152-4|date=2016-04-21|url=https://books.google.gr/books?id=L07OCwAAQBAJ&pg=PA107&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwie9aDk-P2KAxXgB9sEHQzwNF4Q6AF6BAgEEAI#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Mathematica® with Applications|first=Marian|last=Mureşan|publisher=Springer|isbn=978-3-319-52003-2|date=2017-02-21|url=https://books.google.gr/books?id=NdAwDgAAQBAJ&pg=PA14&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwie9aDk-P2KAxXgB9sEHQzwNF4Q6AF6BAgJEAI#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=A Modern Introduction To Classical Number Theory|first=Tianxin|last=Cai|publisher=World Scientific|isbn=978-981-12-1831-6|date=2021-07-21|url=https://books.google.gr/books?id=GoM8EAAAQBAJ&pg=PA326&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwie9aDk-P2KAxXgB9sEHQzwNF4Q6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Computations and Computing Devices in Mathematics Education Before the Advent of Electronic Calculators|first=Alexei|last=Volkov|first2=Viktor|last2=Freiman|publisher=Springer|isbn=978-3-319-73396-8|date=2019-01-11|url=https://books.google.gr/books?id=2GmDDwAAQBAJ&pg=PA417&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjjpIPe-f2KAxXjRPEDHf9TFX44ChDoAXoECAgQAg#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=A History of Abstract Algebra: From Algebraic Equations to Modern Algebra|first=Jeremy|last=Gray|publisher=Springer|isbn=978-3-319-94773-0|date=2018-08-07|url=https://books.google.gr/books?id=gl1oDwAAQBAJ&pg=PA20&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjjpIPe-f2KAxXjRPEDHf9TFX44ChDoAXoECAkQAg#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Wheels, Life and Other Mathematical Amusements|first=Martin|last=Gardner|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-1-4704-6362-5|date=2020-10-06|url=https://books.google.gr/books?id=e04FEAAAQBAJ&pg=PA18&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjjpIPe-f2KAxXjRPEDHf9TFX44ChDoAXoECAYQAg#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Programming in Java: An Interdisciplinary Approach|first=Robert|last=Sedgewick|first2=Kevin|last2=Wayne|publisher=Addison-Wesley Professional|isbn=978-0-13-451160-3|date=2017-04-04|url=https://books.google.gr/books?id=x3MzDwAAQBAJ&pg=PT141&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjjpIPe-f2KAxXjRPEDHf9TFX44ChDoAXoECAsQAg#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Programming in Python: An Interdisciplinary Approach|first=Robert|last=Sedgewick|first2=Kevin|last2=Wayne|publisher=Addison-Wesley Professional|isbn=978-0-13-407652-2|date=2015-05-27|url=https://books.google.gr/books?id=HjDECQAAQBAJ&pg=PT150&dq=%22Euler's+sum+of+powers+conjecture%22&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjjpIPe-f2KAxXjRPEDHf9TFX44ChDoAXoECAwQAg#v=onepage&q=%22Euler's%20sum%20of%20powers%20conjecture%22&f=false}}

== Παραπομπές ==
{{reflist}}
* Tito Piezas III, [http://sites.google.com/site/tpiezas/Home/  A Collection of Algebraic Identities] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111001021837/http://sites.google.com/site/tpiezas/Home |date=2011-10-01 }}
* Jaroslaw Wroblewski, [http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/eslp/  Equal Sums of Like Powers]
* Ed Pegg Jr., [https://web.archive.org/web/20080410224256/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_13_06.html  Math Games, Power Sums]
* James Waldby, [http://pat7.com/jp/s515-10007-t A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009)] 
* R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, [https://arxiv.org/abs/1108.0462 All solutions of the Diophantine equation ''a''<sup>6</sup> + ''b''<sup>6</sup> = ''c''<sup>6</sup> + ''d''<sup>6</sup> + ''e''<sup>6</sup> + ''f''<sup>6</sup> + ''g''<sup>6</sup> for ''a'',''b'',''c'',''d'',''e'',''f'',''g'' < 250000 found with a distributed Boinc project]
* [http://euler.free.fr/ EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers]
* {{MathWorld |title=Euler's Sum of Powers Conjecture |urlname=EulersSumofPowersConjecture}}
* {{MathWorld |title=Euler Quartic Conjecture |urlname=EulerQuarticConjecture}}
* {{MathWorld |title=Diophantine Equation--4th Powers |urlname=DiophantineEquation4thPowers}}
* [https://web.archive.org/web/20071105172444/http://library.thinkquest.org/28049/Euler%27s%20conjecture.html Euler's Conjecture] at library.thinkquest.org
* [http://www.mathsisgoodforyou.com/conjecturestheorems/eulerconjecture.htm A simple explanation of Euler's Conjecture] at Maths Is Good For You!
* {{cite book | last=Pollack | first=Paul | chapter=An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field | pages=259–273 | editor1-last=De Koninck | editor1-first=Jean-Marie | editor2-last=Granville | editor2-first=Andrew | editor3-last=Luca | editor3-first=Florian | title=Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | series=CRM Proceedings and Lecture Notes | volume=46 | year=2008 | isbn=978-0-8218-4406-9 | zbl=1187.11046 }}

== Πηγές ==
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}
* {{Citation|last1=Conway|first1=John Horton|last2=Guy|first2=Richard K.|title=The Book of Numbers|publisher=Copernicus|location=New York|isbn=978-0-387-97993-9|year=1996}}
* {{Citation|last1=Crandall|first1=Richard|last2=Pomerance|first2=Carl|title=Prime Numbers: A Computational Perspective|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-25282-7|year=2005}}
* {{Cite book|title=Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry|first=I. M.|last=Singer|first2=J. A.|last2=Thorpe|publisher=Springer|isbn=978-1-4615-7347-0|date=2015-05-28|url=https://books.google.gr/books?id=8u7LCQAAQBAJ&lpg=PP1&hl=fr&pg=PP1#v=onepage&q&f=false}}
* {{Cite book|title=Introduction to Analytic Number Theory|first=Tom M.|last=Apostol|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-1-4757-5579-4|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=3yoBCAAAQBAJ&lpg=PR1&hl=fr&pg=PR1#v=onepage&q&f=false}}
* {{citation| last=Miller | first= P. D. | title= Applied Asymptotic Analysis | year= 2006 | publisher= American Mathematical Society|url=https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ| isbn= 9780821840788 }}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Thomas M.|title=Introduction to Analytic Number Theory|publisher=Springer|location=New York|isbn=0-387-90163-9|year=1976|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0}}

{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Εικασία του Όιλερ}}

[[Κατηγορία:Διοφαντικές εξισώσεις]] 
[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών]] 
[[Κατηγορία:Θεωρία αριθμών]] 
[[Κατηγορία:Εικασίες]] 
[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]]