Εικασία του Όιλερ

Στη θεωρία των αριθμών, η εικασία του Όιλερ είναι μια διαψευσμένη εικασία που σχετίζεται με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Προτάθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ το 1769. Δηλώνει ότι για όλους τους ακέραιους αριθμούς Πρότυπο:Mvar και Πρότυπο:Mvar μεγαλύτερους από 1, αν το άθροισμα Πρότυπο:Mvar πολλών δυνάμεων Πρότυπο:Mvar-th θετικών ακεραίων αριθμών είναι η ίδια μια Πρότυπο:Mvar-th δύναμη, τότε ο Πρότυπο:Mvar είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον Πρότυπο:Mvar:

$a_1^k+a_2^k+\dots +a_n^k=b^k⟹n\ge k$

Η εικασία αποτελεί μια προσπάθεια γενίκευσης του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, το οποίο είναι η ειδική περίπτωση Πρότυπο:Math: αν $a_1^k+a_2^k=b^k,$ τότε Πρότυπο:Math.

Αν και η εικασία ισχύει για την περίπτωση Πρότυπο:Math (η οποία προκύπτει από το τελευταίο θεώρημα του Φερμά για τις τρίτες δυνάμεις), διαψεύστηκε για Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math. Είναι άγνωστο αν η εικασία αποτυγχάνει ή αν ισχύει για οποιαδήποτε τιμή Πρότυπο:Math.

Ιστορικό

Ο Όιλερ γνώριζε την ισότητα Πρότυπο:Nowrap που περιλαμβάνει αθροίσματα τεσσάρων τετάρτων δυνάμεων- αυτό, ωστόσο, δεν αποτελεί αντιπαράδειγμα επειδή κανένας όρος δεν απομονώνεται στη μία πλευρά της εξίσωσης. Παρέσχε επίσης μια πλήρη λύση στο πρόβλημα των τεσσάρων κύβων, όπως στον αριθμό του Πλάτωνα Πρότυπο:Nowrap ή στον αριθμό του ταξί 1729. Η γενική λύση της εξίσωσης $x_1^3+x_2^3=x_3^3+x_4^3$ is

$\begin{array}{cc}{x}_1& =\lambda (1-(a-3b)(a^2+3b^2))\\ x_2& =\lambda ((a+3b)(a^2+3b^2)-1)\\ x_3& =\lambda ((a+3b)-(a^2+3b^2{)}^2)\\ x_4& =\lambda ((a^2+3b^2{)}^2-(a-3b))\end{array}$

όπου Πρότυπο:Mvar, Πρότυπο:Mvar και $\lambda$ είναι οποιοιδήποτε ρητοί αριθμοί.

Αντιπαραδείγματα

Η εικασία του Όιλερ διαψεύστηκε από τους Λέον Τζ. Λάντερ (Leon J. Lander) και Τόμας Ρ. Πάρκιν (Thomas R. Parkin) το 1966 όταν, μέσω μιας άμεσης αναζήτησης σε υπολογιστή σε ένα CDC 6600, βρήκαν ένα αντιπαράδειγμα για Πρότυπο:Math. Αυτό δημοσιεύτηκε σε μια εργασία που περιλάμβανε μόλις δύο προτάσεις. Είναι γνωστά συνολικά τρία βασικά αντιπαραδείγματα (δηλαδή στα οποία τα αθροίσματα δεν έχουν όλα κοινό παράγοντα) αντιπαραδείγματα:

$\begin{array}{cc}144^5& =27^5+84^5+110^5+133^5\\ 14132^5& =(-220{)}^5+5027^5+6237^5+14068^5\\ 85359^5& =55^5+3183^5+28969^5+85282^5\end{array}$

(Λάντερ & Πάρκιν, 1966)-( Σέρ & Σέιντλ, 1996)-( Φράι, 2004).

Το 1988, ο Νόαμ Έλκις δημοσίευσε μια μέθοδο για την κατασκευή μιας άπειρης ακολουθίας αντιπαραδειγμάτων για την Πρότυπο:Math Το μικρότερο αντιπαράδειγμά του ήταν

$20615673^4=2682440^4+15365639^4+18796760^4.$

Μια ειδική περίπτωση των λύσεων του Έλκις μπορεί να αναχθεί στην ταυτότητα $(85v^2+484v-313{)}^4+(68v^2-586v+10{)}^4+(2u{)}^4=(357v^2-204v+363{)}^4,$ where $u^2=22030+28849v-56158v^2+36941v^3-31790v^4.$

Πρόκειται για μια ελλειπτική καμπύλη με ένα ρητό σημείο στο Πρότυπο:Math. Από αυτό το αρχικό ρητό σημείο, μπορεί κανείς να υπολογίσει μια άπειρη συλλογή άλλων. Αντικαθιστώντας το Πρότυπο:Math στην ταυτότητα και αφαιρώντας τους κοινούς παράγοντες προκύπτει το αριθμητικό παράδειγμα που αναφέρθηκε παραπάνω.

Το 1988, ο Ρότζερ Φράι βρήκε το μικρότερο δυνατό αντιπαράδειγμα

$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4$

για Πρότυπο:Math με άμεση αναζήτηση σε υπολογιστή χρησιμοποιώντας τεχνικές που πρότεινε ο Έλκις. Αυτή η λύση είναι η μόνη με τιμές των μεταβλητών κάτω από 1.000.000.

Γενικεύσεις

Μια ερμηνεία του αριθμού του Πλάτωνα, Πρότυπο:Nowrap

Το 1967, οι Λ. Τζ. Λάντερ, Τ. Ρ. Πάρκιν και Τζον Σέλφριτζ υπέθεσαν ότι ότι εάν

$\sum _{i=1}^n{a}_i^k=\sum _{j=1}^m{b}_j^k$,

όπου Πρότυπο:Math είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί για όλα τα Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math, τότε Πρότυπο:Math. Στην ειδική περίπτωση Πρότυπο:Math, η εικασία δηλώνει ότι αν

$\sum _{i=1}^n{a}_i^k=b^k$

(υπό τις συνθήκες που δόθηκαν παραπάνω) τότε Πρότυπο:Math.

Η ειδική περίπτωση μπορεί να περιγραφεί ως το πρόβλημα της κατανομής μιας τέλειας δύναμης σε λίγες ομοειδείς δυνάμεις. Για

Πρότυπο:Math και Πρότυπο:Math ή Πρότυπο:Math υπάρχουν πολλές γνωστές λύσεις. Μερικές από αυτές παρατίθενται παρακάτω.

Δείτε Πρότυπο:OEIS2C για περισσότερα δεδομένα

Πρότυπο:Math

Πρότυπο:Nowrap (Αριθμός του Πλάτωνος 216)

Αυτή είναι η περίπτωση Πρότυπο:Math, Πρότυπο:Math του τύπου του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν

$(3a^2+5ab-5b^2{)}^3+(4a^2-4ab+6b^2{)}^3+(5a^2-5ab-3b^2{)}^3=(6a^2-4ab+4b^2{)}^3$

Ένας κύβος ως άθροισμα τριών κύβων μπορεί επίσης να παραμετροποιηθεί με έναν από τους δύο τρόπους:

$\begin{array}{cc}{a}^3(a^3+b^3{)}^3& =b^3(a^3+b^3{)}^3+a^3(a^3-2b^3{)}^3+b^3(2a^3-b^3{)}^3\\ a^3(a^3+2b^3{)}^3& =a^3(a^3-b^3{)}^3+b^3(a^3-b^3{)}^3+b^3(2a^3+b^3{)}^3\end{array}$

Ο αριθμός 2 100 000³ μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών κύβων με εννέα διαφορετικούς τρόπους.

Πρότυπο:Math

$\begin{array}{cc}422481^4& =95800^4+217519^4+414560^4\\ 353^4& =30^4+120^4+272^4+315^4\end{array}$

(Ρ. Φράι, 1988); (Ρ. Νόρι, Σμαλεστ, 1911).

Πρότυπο:Math

$\begin{array}{cc}144^5& =27^5+84^5+110^5+133^5\\ 72^5& =19^5+43^5+46^5+47^5+67^5\\ 94^5& =21^5+23^5+37^5+79^5+84^5\\ 107^5& =7^5+43^5+57^5+80^5+100^5\end{array}$

((Λάντερ & Πάρκιν, 1966)- (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, μικρότερο, 1967)- (Λάντερ, Πάρκιν, Σέλφριτζ, δεύτερο μικρότερο, 1967)-[8] (Σάστρι, 1934, τρίτο μικρότερο).

Πρότυπο:Math

Είναι γνωστό από το 2002 ότι δεν υπάρχουν λύσεις για Πρότυπο:Math των οποίων ο τελικός όρος είναι ≤ 730000.

Πρότυπο:Math

$568^7=127^7+258^7+266^7+413^7+430^7+439^7+525^7$

(M. Ντόντριλ, 1999).

Πρότυπο:Math

$1409^8=90^8+223^8+478^8+524^8+748^8+1088^8+1190^8+1324^8$

(Σ. Τσέις, 2000).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πυθαγόρεια τετράδα
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Αριθμοί των Ταξί
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book

Παραπομπές

• Tito Piezas III, A Collection of Algebraic Identities Πρότυπο:Webarchive
• Jaroslaw Wroblewski, Equal Sums of Like Powers
• Ed Pegg Jr., Math Games, Power Sums
• James Waldby, A Table of Fifth Powers equal to a Fifth Power (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, All solutions of the Diophantine equation a⁶ + b⁶ = c⁶ + d⁶ + e⁶ + f⁶ + g⁶ for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project
• EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:MathWorld
• Πρότυπο:MathWorld
• Euler's Conjecture at library.thinkquest.org
• A simple explanation of Euler's Conjecture at Maths Is Good For You!
• Πρότυπο:Cite book

Πηγές

• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Cite book
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation