Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο

{{Image frame|width=340|align=right|caption=Οι επτά πίνακες με εναλλασσόμενο πρόσημο μεγέθους 3
|content=<math>\begin{matrix}
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  1 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 0
 \end{bmatrix}
\\
 \begin{bmatrix}
  0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0\\
  0 & 0 & 1
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  0 &  1 & 0\\
  1 & -1 & 1\\
  0 &  1 & 0
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  0 & 1 & 0\\
  0 & 0 & 1\\
  1 & 0 & 0
 \end{bmatrix}
\\
 \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1\\
  1 & 0 & 0\\
  0 & 1 & 0
 \end{bmatrix}
 \qquad
 \begin{bmatrix}
  0 & 0 & 1\\
  0 & 1 & 0\\
  1 & 0 & 0
 \end{bmatrix}
\end{matrix}</math>}}
Στα [[μαθηματικά]], ένας '''πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο''' είναι ένας [[τετραγωνικός πίνακας]] με 0, 1 και -1, έτσι ώστε το άθροισμα κάθε γραμμής και στήλης να είναι 1 και οι μη μηδενικές καταχωρήσεις σε κάθε γραμμή και στήλη να εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο. Αυτοί οι πίνακες γενικεύουν τους πίνακες μεταθέσεων και προκύπτουν φυσικά όταν χρησιμοποιείται η συμπύκνωση Ντόντγκσον για τον υπολογισμό ενός καθοριστικού παράγοντα<ref>{{citation
 | last = Hone | first = Andrew N. W.
 | doi = 10.1098/rsta.2006.1887
 | issue = 1849
 | journal = Philosophical Transactions of the Royal Society of London
 | mr = 2317901
 | pages = 3183–3198
 | title = Dodgson condensation, alternating signs and square ice
 | volume = 364
 | year = 2006}}</ref>. Είναι επίσης στενά συνδεδεμένοι με το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τοιχώματος περιοχής από τη [[στατιστική μηχανική]]. Για πρώτη φορά ορίστηκαν από τους Γουίλιαμ Μιλς, Ντέιβιντ Ρόμπινς και Χάουαρντ Ράμσεϊ στο πρώτο πλαίσιο.

==Παραδείγματα==

Ένας πίνακας αντιμετάθεσης είναι ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο, και ένας πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι ένας πίνακας αντιμετάθεσης εάν και μόνο εάν καμία εγγραφή δεν ισούται με {{math|-1}}.

Παράδειγμα ενός πίνακα εναλλασσόμενων προσήμων που δεν είναι πίνακας μετάθεσης είναι ο
[[File:Matrice signes alternants 4x4.svg|thumbnail|Εικόνα παζλ]]
:<math>
\begin{bmatrix} 
0&0&1&0\\
1&0&0&0\\
0&1&-1&1\\
0&0&1&0
\end{bmatrix}.
</math>

==Θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο==
Το ''θεώρημα του πίνακα με εναλλασσόμενο πρόσημο'' δηλώνει ότι ο αριθμός των <math>n\times n</math> πινάκων με εναλλασσόμενο πρόσημο είναι

:<math>
\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(3k+1)!}{(n+k)!} = \frac{1!\, 4! \,7! \cdots (3n-2)!}{n!\, (n+1)! \cdots (2n-1)!}.
</math>
Οι πρώτοι όροι αυτής της ακολουθίας για ''n'' = 0, 1, 2, 3, … είναι
:1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348, … {{OEIS|id=A005130}}.

Αυτό το θεώρημα αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Ντόρον Ζεϊλμπεργκερ το 1992<ref>Zeilberger, Doron, [http://www.combinatorics.org/Volume_3/Abstracts/v3i2r13.html "Proof of the alternating sign matrix conjecture"], ''[http://www.combinatorics.org/ Electronic Journal of Combinatorics]'' 3 (1996), R13.</ref>. Το 1995, ο Γκρεγκ Κούπερμπεργκ έδωσε μια σύντομη απόδειξη<ref>[[:en:Greg Kuperberg|Kuperberg, Greg]], [http://arxiv.org/abs/math.CO/9712207 "Another proof of the alternating sign matrix conjecture"], ''International Mathematics Research Notes'' (1996), 139-150.</ref>  βασισμένη στην εξίσωση Γιανγκ-Μπάξτερ για το πρότυπο των έξι κορυφών με οριακές συνθήκες τομέα-τοίχου, που χρησιμοποιεί έναν υπολογισμό της ορίζουσας που οφείλεται στον Ανατόλι Ιζεργκίν<ref>"Determinant formula for the six-vertex model", A. G. Izergin et al. 1992 ''J. Phys. A'': Math. Gen. 25 4315.</ref>. Το 2005, μια τρίτη απόδειξη δόθηκε από την Ίλσε Φίσερ χρησιμοποιώντας αυτό που ονομάζεται μέθοδος του τελεστή<ref>{{Cite journal|last=Fischer|first=Ilse|title=A new proof of the refined alternating sign matrix theorem|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|year=2005|volume=114|issue=2|pages=253–264|doi=10.1016/j.jcta.2006.04.004|arxiv=math/0507270|bibcode=2005math......7270F}}</ref>.

==Πρόβλημα Ραζούμοφ-Στρογκάνοφ==

Το 2001, οι Α. Ραζούμοφ και Γ. Στρογκάνοφ υπέθεσαν μια σύνδεση μεταξύ του μοντέλου βρόχων Ο(1), του μοντέλου πλήρως συσκευασμένων βρόχων (FPL) και των ASMs.<ref>Razumov, A.V., Stroganov Yu.G., [https://arxiv.org/abs/cond-mat/0012141 Spin chains and combinatorics], ''Journal of Physics A'', '''34''' (2001), 3185-3190.</ref>
Η εικασία αυτή αποδείχθηκε το 2010 από τους Καντίνι και Σπορτιέλο.<ref>L. Cantini and A. Sportiello, [https://arxiv.org/abs/1003.3376 Proof of the Razumov-Stroganov conjecture]''Journal of Combinatorial Theory, Series A'', '''118 (5)''', (2011) 1549–1574,</ref>

==Δημοσιεύσεις ==

* {{cite journal |last=Μαυρογιάννης |first=Ν. Σ. |title=Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς |journal=Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας |year=2016 |month=Μαΐου |issue=16 |pages=1-8 |url=http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf}}
* {{Cite book|title=Handbook of Mathematics|first=I. N.|last=Bronshtein|first2=K. A.|last2=Semendyayev|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-662-21982-9|date=2013-06-29|url=https://books.google.gr/books?id=yojoCAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Bronshtein+and+Semendyayev&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Bronshtein%20and%20Semendyayev&f=false}}
* {{cite journal | author = Belevitch V | year = 1950 | title = Theory of 2''n''-terminal networks with applications to conference telephony | journal = Electrical Communication | volume = 27 | pages = 231–244 }}
* {{cite journal | author = Goethals J.M., Seidel J.J. | year = 1967 | title = Orthogonal matrices with zero diagonal | url = https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001 | journal = Canadian Journal of Mathematics | volume = 19 | pages = 1001–1010 | doi=10.4153/cjm-1967-091-8| s2cid = 197456608 | doi-access = free }}
* [[:en:David Bressoud|Bressoud, David M.]], ''Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture'', MAA Spectrum, Mathematical Associations of America, Washington, D.C., 1999.{{ISBN|978-0521666466}}
* [[:en:David Bressoud|Bressoud, David M.]] and Propp, James, [https://www.ams.org/notices/199906/fea-bressoud.pdf How the alternating sign matrix conjecture was solved], ''Notices of the American Mathematical Society'', 46 (1999), 637–646.
* Mills, William H., [[:en:David P. Robbins|Robbins, David P.]], and Rumsey, Howard Jr., Proof of the Macdonald conjecture, ''Inventiones Mathematicae'', 66 (1982), 73–87.
* Mills, William H., [[:en:David P. Robbins|Robbins, David P.]], and Rumsey, Howard Jr., Alternating sign matrices and descending plane partitions, ''Journal of Combinatorial Theory, Series A'', 34 (1983), 340–359.
* Propp, James, [https://arxiv.org/abs/math/0208125v1 The many faces of alternating-sign matrices], ''Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science'', Special issue on ''Discrete Models: Combinatorics, Computation, and Geometry'' (July 2001).
* Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., [https://arxiv.org/abs/math/0104216 Combinatorial nature of ground state vector of O(1) loop model], ''Theor. Math. Phys.'', '''138''' (2004), 333–337.
* Razumov, A. V., Stroganov Yu. G., O(1) loop model with different boundary conditions and symmetry classes of alternating-sign matrices], ''Theor. Math. Phys.'', '''142''' (2005), 237–243, {{arxiv|cond-mat/0108103}}
* [[:en:David P. Robbins|Robbins, David P.]], The story of <math>1, 2, 7, 42, 429, 7436, \dots</math>, ''The Mathematical Intelligencer'', 13 (2), 12–19 (1991), {{doi|10.1007/BF03024081}}.
* [[:en:Doron Zeilberger|Zeilberger, Doron]], [http://nyjm.albany.edu:8000/j/1996/2-4.pdf Proof of the refined alternating sign matrix conjecture], ''New York Journal of Mathematics'' 2 (1996), 59–68.

==Δείτε επίσης==

* [https://books.google.gr/books?id=UBVH2Vpf6LYC&printsec=frontcover&dq=Algebraic+function+field&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Algebraic%20function%20field&f=false Field Arithmetic]
* [[Πραγματικό προβολικό επίπεδο]]
* [[Πραγματικός αριθμός]] 
* [[Αντιερμιτιανός πίνακας]]
* [[Ενελικτικός πίνακας]]
* [[Τριγωνικός πίνακας]]
* [[Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Προβολή (γραμμική άλγεβρα)]]
* [[Ταυτοτικός πίνακας]]
* [[Αντιμεταθέσιμοι πίνακες]]
* [[Πολλαπλασιασμός πινάκων]]
* [http://www.cs.utexas.edu/users/flame/pubs/flawn53.pdf High performance algorithms] for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
* [https://www.cs.cornell.edu/~bindel/class/cs6210-f16/lec/2016-10-21.pdf Algorithm overview]

==Εξωτερικοί σύνδεσμοι  ==

*[https://www.itia.ntua.gr/en/docinfo/1318/ English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics] Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
*[https://www.mas.ucy.ac.cy/georgios/bookfiles/dict1.pdf Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου]
*[https://matrixcalc.org/#determinant%28%7B%7B3,6,0%7D,%7B8,2,2%7D,%7B5,4,8%7D%7D%29 Matrix calculator]
* [https://books.google.gr/books?id=F4hRy1F1M6QC&pg=PA20&dq=Gram+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjPquKekY6HAxWRX_EDHWA-DZkQ6AF6BAgFEAI#v=onepage&q=Gram%20matrix&f=false Matrix Analysis]
* [https://books.google.gr/books?id=8abnhvLAyNAC&pg=PA13&dq=Commutation+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi5i-Dw07-HAxXaSfEDHSm1CXcQ6AF6BAgIEAI#v=onepage&q=Commutation%20matrix&f=false Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...]
* [https://books.google.gr/books?id=jEKFYutSGGYC&pg=PA12&dq=Unimodular+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiThtTWstaHAxWYB9sEHWLdItkQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Unimodular%20matrix&f=false Integral Matrices]
* [https://books.google.gr/books?id=Ozb3DwAAQBAJ&pg=PA9&dq=augmented+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwiDjID6o-6HAxU1QPEDHcYlOIUQ6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=augmented%20matrix&f=false Basic Matrix Algebra with Algorithms and Applications]
* [https://books.google.gr/books?id=uEDUEAAAQBAJ&pg=PA284&dq=augmented+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwivlbW7pO6HAxV7VfEDHZg2NG44ChDoAXoECAoQAg#v=onepage&q=augmented%20matrix&f=false An Introduction to Optimization: With Applications to Machine Learning]
* [https://books.google.gr/books?id=3peYfrPQptsC&pg=PA176&dq=Alternating+sign+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjv7PPThfWHAxWCA9sEHSvNJvo4ChDoAXoECAcQAg#v=onepage&q=Alternating%20sign%20matrix&f=false Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...]
* [https://books.google.gr/books?id=FJGfl58kE2EC&pg=PA52&dq=Alternating+sign+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjv7PPThfWHAxWCA9sEHSvNJvo4ChDoAXoECAwQAg#v=onepage&q=Alternating%20sign%20matrix&f=false Surveys in Number Theory]
* [https://books.google.gr/books?id=MwJHAgAAQBAJ&pg=PA85&dq=Alternating+sign+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj1hfGZgfWHAxWbQ_EDHY_sN4EQ6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=Alternating%20sign%20matrix&f=false Random Matrices and the Six-Vertex Model]
* [https://books.google.gr/books?id=4n1pDQAAQBAJ&pg=PA586&dq=Alternating+sign+matrix&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwj1hfGZgfWHAxWbQ_EDHY_sN4EQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Alternating%20sign%20matrix&f=falseUnitary Symmetry and Combinatorics]

==Παραπομπές==
<references/>

* {{citation | first1 = Raymond A. | last1 = Beauregard | first2 = John B. | last2 = Fraleigh | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | publisher = [[:en:Houghton Mifflin Co.|Houghton Mifflin Co.]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau }}
* {{cite book|first=Thomas|last=Muir|author-link=:en:Thomas Muir (mathematician)|year=1960|title=A Treatise on the Theory of Determinants|url=https://archive.org/details/treatiseontheory0000muir|url-access=registration|publisher=Dover|page=[https://archive.org/details/treatiseontheory0000muir/page/19 19]|isbn= 0-486-60670-8}}
* {{cite journal|doi=10.2307/2323222|first=James R. |last=Weaver|title= Centrosymmetric (cross-symmetric) matrices, their basic properties, eigenvalues, and eigenvectors|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1985-12_92_10/page/711|journal=American Mathematical Monthly|volume=92|issue=10|year=1985|pages=711–717|jstor=2323222 }}

{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:πίνακας με εναλλασσόμενο πρόσημο}}

[[Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα]] 
[[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα]]
[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)]] 
[[Κατηγορία:Θεωρία πινάκων]] 
[[Κατηγορία:Συνδυαστική]]