Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Πίνακας περιστροφής

[[Αρχείο:Περιστροφή_σημείου.svg|right|thumb|350px|Περιστροφή του σημείου <math>\mathbf{p}</math> αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων <math>(0, 0)</math> κατά γωνία <math>\theta</math>.]]

Στη [[γραμμική άλγεβρα]] ο '''πίνακας περιστροφής''' είναι ο [[πίνακας (μαθηματικά)|πίνακας]] που αντιστοιχεί στην [[γραμμική απεικόνιση]] της [[περιστροφή]]ς ενός σημείου αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων. Στις δύο διαστάσεις για γωνία <math>\theta</math>, ο πίνακας της περιστροφής είναι ίσος με<ref name="ΚΚ14">{{cite book |last1=Καδιανακης |first1=Ν. |last2=Καρανασιος |first2=Σ. |title=Γραμμική άλγεβρα, αναλυτική γεωμετρία και εφαρμογές |year=2014 |location=Αθήνα |isbn=960-91725-0-4}}</ref>{{rp|280}}<ref name="ΧΦ15">{{cite book |last1=Χαραλάμπους |first1=Χ. |last2=Φωτιάδης |first2=Α. |title=Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες |year=2015 |publisher=ΣΕΑΒ |location=Αθήνα |isbn=978-960-603-273-8 |url=https://repository.kallipos.gr/handle/11419/2329}}</ref>{{rp|112}}<ref name="MPTT15">{{cite book |last1=Μουστάκας |first1=Κ. |last2=Παλιόκας |first2=Ι. |last3=Τσακίρης |first3=Α. |last4=Τζοβάρας |first4=Δ. |title=Γραφικά και εικονική πραγματικότητα |year=2015 |publisher=ΣΕΑΒ |location=Αθήνα |isbn=978-960-603-255-4 |url=https://repository.kallipos.gr/handle/11419/4491}}</ref>{{rp|60-61}}
:<math>
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix} 
</math>,
όπου <math>\sin \theta</math> είναι το [[ημίτονο]] και <math>\cos \theta</math> το [[συνημίτονο]] της γωνίας <math>\theta</math>.

Οι πίνακες αυτοί χρησιμοποιούνται στα [[γραφικά υπολογιστών]],{{r|ΚΚ14|p=282}}<ref>{{cite web |last=Αριστίδου |first=Ανδρέας |title=Γραφικά υπολογιστών Βασικά μαθηματικά: Γραμμικοί Μετασχηματισμοί |url=http://www.cs.ucy.ac.cy/courses/EPL426/courses/Lectures/03_Transformations.pdf |accessdate=4 Σεπτεμβρίου 2022}}</ref> την [[ρομποτική]],<ref>{{cite web |last=Ασβεστας |first=Π. |title=Εισαγωγή στη Ρομποτική: Μετασχηματισμοί στις 2 διαστάσεις |url=https://eclass.uniwa.gr/modules/document/file.php/137/%CE%A3%CE%97%CE%9C%CE%95%CE%99%CE%A9%CE%A3%CE%95%CE%99%CE%A3/2.TRANSFORMATIONS_2D.pdf |publisher=Σχολή Μηχανικών, Τμήμα Μηχανικών Βιοιατρικής, Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής |accessdate=4 Σεπτεμβρίου 2022}}</ref>{{rp|1-2}} την [[μηχανική]] και σε άλλες επιστήμες.

== Στις δύο διαστάσεις ==
===Τύπος===
[[Αρχείο:Περιστροφή_σημείου_απόδειξη.svg|right|thumb|350px|Περιστροφή του σημείου <math>\mathbf{p} = (x, y)</math> αριστερόστροφα ως προς την αρχή των αξόνων <math>(0, 0)</math> κατά γωνία <math>\theta</math>, ώστε να πάρουμε το <math>\mathbf{p}' = (x', y')</math>. Η γωνία <math>\phi</math> είναι η γωνία του <math>\mathbf{p}</math> με την αρχή των αξόνων και <math>\ell</math> είναι το μήκος του <math>\mathbf{p}</math> (και του <math>\mathbf{p}'</math>).]]

Στις δύο διαστάσεις ο πίνακας περιστροφής κατά γωνία <math>\theta</math> αριστερόστροφα γύρω από την αρχή των αξόνων δίνεται ως εξής
:<math>
R(\theta) = \begin{bmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}.
</math>

====Απόδειξη====
Θεωρούμε ένα σημείο <math>\mathbf{p} = (x, y)</math> στο επίπεδο. Έστω <math>\ell = |\mathbf{p}| = \textstyle \sqrt{x^2 + y^2}</math> η απόσταση του από την αρχή των αξόνων και <math>\phi</math> η γωνία μεταξύ του <math>\mathbf{p}</math> και του άξονα xx'. Τότε <math>x = \ell \cdot \cos \phi</math> και <math>y = \ell \cdot \sin \phi</math>.

Έστω <math>\mathbf{p}' = (x', y')</math> το σημείο <math>\mathbf{p}</math> περιεστρεμμένο κατά γωνία <math>\theta</math> αριστερόστροφα της αρχής των αξόνων. Τότε η γωνία του <math>\mathbf{p}'</math> με τον xx' είναι <math>\phi + \theta</math> και το μήκος του είναι <math>|\mathbf{p}'| = |\mathbf{p}| = \ell</math>. Επομένως, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις για το άθροισμα γωνιών, ισχύει ότι
:<math>
\begin{align}
x' 
 & = \ell \cdot \cos (\phi + \theta) \\
 & = \ell \cdot \cos \phi \cos \theta - \ell \cdot \sin \phi \sin \theta \\
 & = (\ell \cdot \cos \phi) \cos \theta - (\ell \cdot \sin \phi) \sin \theta \\
 & = x \cdot \cos \theta - y \cdot \sin \theta,
\end{align}</math>
και 
:<math>
\begin{align}
y' & = \ell \cdot \sin (\phi + \theta) \\
 & = \ell \cdot \sin \phi \cos \theta + \ell \cdot \cos \phi \sin \theta \\
 & = (\ell \cdot \sin \phi) \cos \theta + (\ell \cdot \cos \phi) \sin \theta \\
 & = y \cdot \cos \theta + x \cdot \sin \theta.
\end{align}</math>
Συνεπώς, ισχύει ότι
:<math>
\mathbf{p}' =
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
x \cdot \cos \theta - y \cdot \sin \theta \\
x \cdot \sin \theta + y \cdot \cos \theta
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
x \\ y
\end{bmatrix}
=R(\theta) \cdot \mathbf{p}.
</math>

===Παραδείγματα===
* Περιστροφή του <math>(1, 0)</math> κατά γωνία <math>\theta</math> μας δίνει το σημείο <math>(\cos \theta, \sin \theta)</math>, που είναι σημείο του [[Μοναδιαίος κύκλος|μοναδιαίου κύκλου]]. Αυτό δίνεται και από τον τύπο
::<math>
R(\theta) \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{bmatrix}.
</math>
* Η περιστροφή κατά <math>90^o</math> αντιστοιχεί στην
::<math>
R(90^o) \cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\cos (90^o) & - \sin (90^o) \\
\sin (90^o) & \cos (90^o)
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & - 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} -y \\ x\end{bmatrix}.
</math>
* Η περιστροφή του σημείου <math>(0.3, 1.1)</math> κατά γωνία <math>53^o</math> δίνεται από τον τύπο
::<math>
R(53^o) \cdot \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1.1\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}
\cos (53^o) & - \sin (53^o) \\
\sin (53^o) & \cos (53^o)
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1.1\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0.601.. & -0.798.. \\
0.798.. & 0.601..
\end{bmatrix}
\cdot \begin{bmatrix} 0.3 \\ 1.1\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0.601.. \cdot 0.3 - 0.798.. \cdot 1.1 \\
0.798.. \cdot 0.3 + 0.601.. \cdot 1.1
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
-0.69.. \\
\phantom{-}0.90..
\end{bmatrix}
</math>.

{{multiple image
 | align = center
 | total_width = 900
 
 | image1 = Παράδειγμα_περιστροφής_του_e1.svg
 | caption1 = Περιστροφή του <math>(0, 1)</math>.

 | image2 = Παράδειγμα_περιστροφής_κατά_90_μοίρες.svg
 | caption2 = Περιστροφή κατά <math>90^o</math>.
 
 | image3 = Γενικό_παράδειγμα_περιστροφής.svg
 | caption3 = Γενικό παράδειγμα περιστροφής.
 
 | header = Παραδείγματα περιστροφών ως προς την αρχή των αξόνων
}}

===Ιδιότητες===
* Ο πίνακας <math>R(\theta)</math> είναι [[αντιστρέψιμος πίνακας|αντιστρέψιμος]], με αντίστροφο τον <math>R(-\theta)</math>. Αυτό προκύπτει και από την γεωμετρική ερμηνεία.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Χρησιμοποιώντας ότι <math>\sin (-\theta) = \sin (\theta)</math> και <math>\cos(-\theta) = \cos(\theta)</math>, έχουμε ότι
:<math>
R(\theta) \cdot R(-\theta) = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\cdot 
\begin{bmatrix}
\cos (-\theta) & - \sin (-\theta) \\
\sin (-\theta) & \cos (-\theta)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
\cdot 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix}
</math>
[[Πολλαπλασιασμός πινάκων|Πολλαπλασιάζοντας]] του δύο πίνακες και χρησιμοποιώντας ότι <math>\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1</math>, έχουμε ότι
:<math>
\begin{bmatrix}
\cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \\
\cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
</math>.
}}
* Η [[Ορίζουσα]] του πίνακα <math>|R(\theta)| = 1</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Η ορίζουσα δίνεται από τον τύπο:
:<math>|R(\theta)| = 
\begin{vmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{vmatrix} 
= \cos \theta \cdot \cos \theta - (-\sin \theta) \cdot \sin \theta = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1</math>.
}}
* Το [[Πολλαπλασιασμός πινάκων|γινόμενο]] δύο πινάκων περιστροφής με γωνίες <math>\theta</math> και <math>\phi</math> είναι ο πίνακας περιστροφής για την γωνία <math>\theta + \phi</math>, δηλαδή <math>R(\theta) \cdot R(\phi) = R(\theta + \phi)</math>.
{{Μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Το γινόμενο δίνεται ως εξής:
:<math>
R(\theta) \cdot R(\phi) = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
\cos \phi & - \sin \phi \\
\sin \phi & \cos \phi
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi & -\cos \theta \sin \phi - \sin \theta \cos \phi \\
\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \sin \phi + \cos \theta \cos \phi
\end{bmatrix}.
</math>
Χρησιμοποιώντας ότι <math>\sin(\theta + \phi) = \sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi</math> και <math>\cos(\theta + \phi) = \cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi</math>, έχουμε ότι
:<math>
R(\theta) \cdot R(\phi) = 
\begin{bmatrix}
\cos (\theta + \phi) & -\sin(\theta + \phi) \\
\sin (\theta + \phi) & \cos(\theta + \phi)
\end{bmatrix}
= R(\theta + \phi).
</math>
Επομένως, το ζητούμενο έπεται.
}}

== Στις τρεις διαστάσεις ==
=== Περιστροφή γύρω από τους άξονες ===
Όταν θέλουμε να περιστρέψουμε ένα σημείο γύρω από έναν από τους άξονες xx', yy' ή zz', τότε η συντεταγμένη που αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής δεν αλλάζει και οι άλλες δύο συντεταγμένες αλλάζουν κατά τον πίνακα περιστροφής στις δύο διαστάσεις.

Επομένως, ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή κατά γωνία <math>\theta</math> γύρω από τον άξονα zz' δίνεται από τον πίνακα:<ref>{{cite book |last=Sernesi |first=E. |title=Linear algebra : a geometric approach |url=https://archive.org/details/isbn_9780412406805 |year=1993 |publisher=Chapman & Hall |location=London |isbn=0-412-40680-2 |edition=English language}}</ref>{{rp|307}}{{r|MPTT15|p=62}}
:<math>
R_z(\theta) = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & - \sin \theta & 0 \\
\sin \theta & \cos \theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
</math>
Αντίστοιχα ο πίνακας για την αριστερόστροφη περιστροφή γύρω από τους άξονες xx' και yy' δίνεται από τους πίνακες:
:<math>
R_x(\theta) = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \theta & - \sin \theta\\
0 & \sin \theta & \cos \theta
\end{bmatrix} \quad
</math> και <math>\quad
R_y(\theta) = 
\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & - \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix}.
</math>

==Παραπομπές==
<references/>


{{Μαθηματικά-επέκταση}}
{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:Πίνακας περιστροφής}}

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)]]
[[Κατηγορία:Μετασχηματισμός (μαθηματικά)]]
[[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Μαθηματική φυσική]]