Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν

Στα [[μαθηματικά]], ο '''[[Σύνδεσμος (μαθηματικά)|σύνδεσμος]] Γκάους-Μάνιν''' είναι μια σύνδεση σε μια συγκεκριμένη διανυσματική δέσμη σε ένα χώρο βάσης S μιας οικογένειας [[Αλγεβρική ποικιλία|αλγεβρικών ποικιλιών]] <math>V_s</math>. Οι ίνες της διανυσματικής δέσμης είναι οι ομάδες συνομολογίας Ραμ <math>H^k_{DR}(V_s)</math> των ινών της οικογένειας <math>V_s</math>. Παρουσιάστηκε από τον Γιούρι Μάνιν (1958) για καμπύλες ''S'' και από τον [[Αλεξάντερ Γκρότεντικ|Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ]] (1966) σε υψηλότερες διαστάσεις.

Τα επίπεδα τμήματα της δέσμης περιγράφονται από [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικές εξισώσεις]]- η πιο γνωστή από αυτές είναι η εξίσωση Πικάρ-Φουκς, η οποία εμφανίζεται όταν η οικογένεια ποικιλιών θεωρείται ως οικογένεια [[Ελλειπτική καμπύλη|ελλειπτικών καμπυλών]]. Με διαισθητικούς όρους, όταν η οικογένεια είναι τοπικά τετριμμένη, οι κλάσεις συνομολογίας μπορούν να μετακινηθούν από μια ίνα της οικογένειας σε γειτονικές ίνες, δίνοντας την έννοια του "επίπεδου τμήματος" με καθαρά τοπολογικούς όρους. Η ύπαρξη της σύνδεσης πρέπει να συναχθεί από τα επίπεδα τμήματα.

==Διαίσθηση==
Έστω ένας ομαλός μορφισμός συστημάτων <math>X\to B</math> με χαρακτηριστικό 0. Ως αναλυτικοί μιγαδικοί χώροι, το θεώρημα του Έρεσμαν υποδηλώνει ότι οι ίνες <math>X_b = f^{-1}(b)</math> είναι ομαλές πολλαπλότητες και είναι όλες διαφορικές. Οι ομάδες συνομολογίας ντε Ραμ <math>H^k(X_b)</math> είναι επομένως όλες ισόμορφες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση για να αναρωτηθούμε τι συμβαίνει όταν προσπαθούμε να διαφοροποιήσουμε κλάσεις συνομολογίας χρησιμοποιώντας διανυσματικά πεδία από τον βασικό χώρο <math>B</math>.

Ας θεωρήσουμε μια κλάση συνομολογίας <math>\alpha \in H^k(X)</math> τέτοια ώστε <math>i^*_b(\alpha) \in H^k(X_b)</math> όπου <math>i_b\colon X_b \to X</math> είναι το υποσύνολο. Τότε, αν θεωρήσουμε τις κλάσεις 

: <math>
\left[ i_b^\ast \left(\frac{\partial^{i_1+\cdots+i_n} \alpha}{\partial b_1^{i_1} \cdots \partial b_n^{i_n} } \right)\right] \in H^k(X_b) 
</math>

τελικά θα υπάρξει μια σχέση μεταξύ τους, που ονομάζεται εξίσωση Πικάρ-Φουκς. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν είναι ένα εργαλείο που κωδικοποιεί αυτή την πληροφορία σε μια σύνδεση στην επίπεδη διανυσματική δέσμη στο <math>B</math> που δομείται από την <math>H^k(X_b)</math>.<ref>{{cite web|title=Reference for Gauss–Manin Connection|url=https://math.stackexchange.com/a/526034/251222|website=math.stackexchange.com}}</ref>

==Παράδειγμα==
Ένα συχνά αναφερόμενο παράδειγμα είναι η κατασκευή κατά Ντουόρκ της εξίσωσης Πικάρ-Φουκς. 

Έστω 
:<math>V_\lambda(x,y,z)</math> είναι η ελλειπτική καμπύλη <math> x^3+y^3+z^3 - \lambda xyz=0 \;</math>.

Εδώ, <math>\lambda</math> είναι μια ελεύθερη παράμετρος που περιγράφει την καμπύλη- είναι ένα στοιχείο της μιγαδικής προβολικής γραμμής (η οικογένεια των υπερεπιφανειών σε <math>n-1</math> διαστάσεις βαθμού ''n'', που ορίζεται αναλογικά, μελετήθηκε εκτενώς τα τελευταία χρόνια, σε σχέση με το θεώρημα της αρθρωτότητας και τις επεκτάσεις του)<ref>
{{cite book | last=Katz | first=Nicholas M. | author-link=:en:Nick  Katz|title=Algebra, Arithmetic, and Geometry Vol II | chapter=Another look at the Dwork family | publisher=Birkhäuser | publication-place=Boston | year=2009 | pages=89–126 | isbn=978-0-8176-4746-9 | doi=10.1007/978-0-8176-4747-6_4 | url=http://www.math.princeton.edu/~nmk/dworkfam64.pdf|mr=2641188}}</ref> . Έτσι, ο βασικός χώρος της δέσμης θεωρείται ότι είναι η προβολική γραμμή.  Για ένα σταθερό <math>\lambda</math> στο χώρο βάσης, θεωρήστε ένα στοιχείο <math>\omega_\lambda</math> της σχετικής ομάδας συνομολογίας ντε Ραμ.

:<math>\omega_\lambda \in H^1_{dR}(V_\lambda).</math>

Κάθε τέτοιο στοιχείο αντιστοιχεί σε μια περίοδο της ελλειπτικής καμπύλης. Η συνομολογία είναι δισδιάστατη. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης.

:<math>(\lambda^3-27) \frac{\partial^2 \omega_\lambda}{\partial \lambda^2} 
+3\lambda^2 \frac{\partial \omega_\lambda}{\partial \lambda}  + \lambda \omega_\lambda =0. </math>

==Επεξήγηση D-Πρότυπο==
Στο πιο αφηρημένο πλαίσιο της θεωρίας των D-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|Πρότυπων]], η ύπαρξη τέτοιων εξισώσεων εντάσσεται σε μια γενική συζήτηση της άμεσης εικόνας.

==Εξισώσεις "που προκύπτουν από τη γεωμετρία"==
Ολόκληρη η κατηγορία των συνδέσμων Γκάους - Μάνιν χρησιμοποιήθηκε για την προσπάθεια διατύπωσης της έννοιας των [[Διαφορική εξίσωση|διαφορικών εξισώσεων]] που "προκύπτουν από τη [[γεωμετρία]]". Σε σχέση με την εικασία της p-καμπυλότητας του Γκρόθεντιεκ, ο Νίκολας Κατζ απέδειξε ότι η κλάση των συνδέσεων Γκάους-Μάνιν με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές ικανοποιεί την εικασία. Το αποτέλεσμα αυτό συνδέεται άμεσα με την έννοια της συνάρτησης Ζίγκελ G της θεωρίας υπερβατικών αριθμών, για λύσεις μερομορφικών συναρτήσεων. Η εικασία Μπομπιέρι - Ντουόρκ, που αποδίδεται επίσης στον Ιβ Αντρέ, η οποία δίνεται σε περισσότερες από μία εκδοχές, αξιώνει μια αντίστροφη κατεύθυνση: λύσεις ως συναρτήσεις G ή p-καμπυλότητα μηδενική mod p για σχεδόν όλους τους πρώτους p, σημαίνει ότι μια εξίσωση "προκύπτει από τη γεωμετρία"<ref>{{cite web|url=http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/42639/1/1296_14.pdf|title=On applications of Katz' middle convolution functor (Deformation of differential equations and asymptotic analysis)|first=Stefan|last=Reiter|date=2002|website=Kyoto University Research Information Repository}}</ref><ref>{{cite journal|first=Burt|last=Totaro|author-link=:en:Burt Totaro| title=Euler and algebraic geometry|url=https://www.ams.org/journals/bull/2007-44-04/S0273-0979-07-01178-0/S0273-0979-07-01178-0.pdf|journal=[[:en:Bulletin of the American Mathematical Society|Bulletin of the American Mathematical Society]]|volume= 44 |year=2007|issue= 4|pages= 541–559|doi=10.1090/S0273-0979-07-01178-0|mr=2338364|doi-access=free}}</ref>.

==Δημοσιεύσεις==
* {{Citation |last1=Kulikov |first1=Valentine |title=Mixed Hodge Structures and Singularities |date=1998 |publisher=Cambridge Tracts in Mathematics |pages=1–59}} (Gives and excellent introduction to Gauss–Manin connections)
* {{Citation | last=Dimca | first=Alexandru | author-link=:en:Alexandru Dimca|title=Sheaves in Topology | pages=55–57,206–207 }} (Gives example of Gauss–Manin connections and their relation to D-module theory and the Riemmann-Hilbert correspondence)
* {{Citation | last=Griffiths | first=Phillip | author-link=:en:Phillip Griffiths| title=Periods of integrals on algebraic manifolds: Summary of main results and discussion of open problems | url=https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183531477 }} (Gives a quick sketch of main structure theorem of Gauss–Manin connections)
* {{Citation | last=Barrientos | first=Ivan | title=The Gauss-Manin connection and regular singular points. | url=http://algant.eu/documents/theses/barrientos.pdf }}
* {{Citation | last=Grothendieck | first=Alexander | author-link =:en:Alexander Grothendieck | title=On the de Rham cohomology of algebraic varieties | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0 | mr=0199194 | year=1966 | journal=[[:en:Publications Mathématiques de l'IHÉS|Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=0073-8301 | issue=29 | pages=95–103 | doi=10.1007/BF02684807 | volume=29|series=letter to Atiyah, Oct. 14 1963| s2cid=123434721 }}
*{{Citation | last1=Manin | first1=Ju. I. | author-link=:en:Yuri Manin| title=Algebraic curves over fields with differentiation | url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv/v22/i6/p737 | language=Russian | mr=0103889 | year=1958 | journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya | volume=22 | pages=737–756}} English translation in {{Citation | last1=Manin | first1=Ju. I. | title=American Mathematical Society translations: 22 papers on algebra, number theory and differential geometry | orig-year=1958 | url=https://books.google.com/books?id=fZ7ms3db_cMC | publisher=[[:en:American Mathematical Society|American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | isbn=978-0-8218-1737-7 | mr=0103889 | year=1964 | volume=37 | chapter=Algebraic curves over fields with differentiation | pages=59–78}}

==Βιβλιογραφία==
*[https://books.google.gr/books?id=N656CwAAQBAJ&pg=PA60&dq=Gauss%E2%80%93Manin+connection&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjEkZmdpq6FAxXKc_EDHVBGCGAQ6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=Gauss%E2%80%93Manin%20connection&f=false '' Differential Algebraic Groups of Finite Dimension]
*[https://books.google.gr/books?id=PdZW_MKY_6gC&pg=PA281&dq=Gauss%E2%80%93Manin+connection&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjEkZmdpq6FAxXKc_EDHVBGCGAQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Gauss%E2%80%93Manin%20connection&f=false ''Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry'']
*[https://books.google.gr/books?id=lNlMEAAAQBAJ&pg=PA30&dq=Gauss%E2%80%93Manin+connection&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjEkZmdpq6FAxXKc_EDHVBGCGAQ6AF6BAgNEAI#v=onepage&q=Gauss%E2%80%93Manin%20connection&f=false "Modular And Automorphic Forms & Beyond"]
*[https://books.google.gr/books?id=Mz_1CAAAQBAJ&pg=PA88&dq=Gauss%E2%80%93Manin+connection&hl=el&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjEkZmdpq6FAxXKc_EDHVBGCGAQ6AF6BAgLEAI#v=onepage&q=Gauss%E2%80%93Manin%20connection&f=false "Singularity Theory I"]

==Παραπομπές==
<references />

{{Authority control}} 
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{DEFAULTSORT:Σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν}}
[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία]]
[[Κατηγορία:Άλγεβρα]]
[[Κατηγορία:Μαθηματικά]]