Σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν

Στα μαθηματικά, ο σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν είναι μια σύνδεση σε μια συγκεκριμένη διανυσματική δέσμη σε ένα χώρο βάσης S μιας οικογένειας αλγεβρικών ποικιλιών $V_s$. Οι ίνες της διανυσματικής δέσμης είναι οι ομάδες συνομολογίας Ραμ $H_{DR}^k(V_s)$ των ινών της οικογένειας $V_s$. Παρουσιάστηκε από τον Γιούρι Μάνιν (1958) για καμπύλες S και από τον Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ (1966) σε υψηλότερες διαστάσεις.

Τα επίπεδα τμήματα της δέσμης περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις- η πιο γνωστή από αυτές είναι η εξίσωση Πικάρ-Φουκς, η οποία εμφανίζεται όταν η οικογένεια ποικιλιών θεωρείται ως οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών. Με διαισθητικούς όρους, όταν η οικογένεια είναι τοπικά τετριμμένη, οι κλάσεις συνομολογίας μπορούν να μετακινηθούν από μια ίνα της οικογένειας σε γειτονικές ίνες, δίνοντας την έννοια του "επίπεδου τμήματος" με καθαρά τοπολογικούς όρους. Η ύπαρξη της σύνδεσης πρέπει να συναχθεί από τα επίπεδα τμήματα.

Διαίσθηση

Έστω ένας ομαλός μορφισμός συστημάτων $X\to B$ με χαρακτηριστικό 0. Ως αναλυτικοί μιγαδικοί χώροι, το θεώρημα του Έρεσμαν υποδηλώνει ότι οι ίνες $X_b=f^{-1}(b)$ είναι ομαλές πολλαπλότητες και είναι όλες διαφορικές. Οι ομάδες συνομολογίας ντε Ραμ $H^k(X_b)$ είναι επομένως όλες ισόμορφες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση για να αναρωτηθούμε τι συμβαίνει όταν προσπαθούμε να διαφοροποιήσουμε κλάσεις συνομολογίας χρησιμοποιώντας διανυσματικά πεδία από τον βασικό χώρο $B$.

Ας θεωρήσουμε μια κλάση συνομολογίας $\alpha \in H^k(X)$ τέτοια ώστε $i_b^{*}(\alpha )\in H^k(X_b)$ όπου $i_b:X_b\to X$ είναι το υποσύνολο. Τότε, αν θεωρήσουμε τις κλάσεις

$\left[i_b^{\ast }\left(\frac{{\partial }^{i_1+\cdots +i_n}\alpha }{\partial b_1^{i_1}\cdots \partial b_n^{i_n}}\right)\right]\in H^k(X_b)$

τελικά θα υπάρξει μια σχέση μεταξύ τους, που ονομάζεται εξίσωση Πικάρ-Φουκς. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν είναι ένα εργαλείο που κωδικοποιεί αυτή την πληροφορία σε μια σύνδεση στην επίπεδη διανυσματική δέσμη στο $B$ που δομείται από την $H^k(X_b)$.

Παράδειγμα

Ένα συχνά αναφερόμενο παράδειγμα είναι η κατασκευή κατά Ντουόρκ της εξίσωσης Πικάρ-Φουκς.

Έστω

$V_{\lambda }(x,y,z)$ είναι η ελλειπτική καμπύλη $x^3+y^3+z^3-\lambda xyz=0$.

Εδώ, $\lambda$ είναι μια ελεύθερη παράμετρος που περιγράφει την καμπύλη- είναι ένα στοιχείο της μιγαδικής προβολικής γραμμής (η οικογένεια των υπερεπιφανειών σε $n-1$ διαστάσεις βαθμού n, που ορίζεται αναλογικά, μελετήθηκε εκτενώς τα τελευταία χρόνια, σε σχέση με το θεώρημα της αρθρωτότητας και τις επεκτάσεις του) . Έτσι, ο βασικός χώρος της δέσμης θεωρείται ότι είναι η προβολική γραμμή. Για ένα σταθερό $\lambda$ στο χώρο βάσης, θεωρήστε ένα στοιχείο ${\omega }_{\lambda }$ της σχετικής ομάδας συνομολογίας ντε Ραμ.

${\omega }_{\lambda }\in H_{dR}^1(V_{\lambda }).$

Κάθε τέτοιο στοιχείο αντιστοιχεί σε μια περίοδο της ελλειπτικής καμπύλης. Η συνομολογία είναι δισδιάστατη. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης.

$({\lambda }^3-27)\frac{{\partial }^2{\omega }_{\lambda }}{\partial {\lambda }^2}+3{\lambda }^2\frac{\partial {\omega }_{\lambda }}{\partial \lambda }+\lambda {\omega }_{\lambda }=0.$

Επεξήγηση D-Πρότυπο

Στο πιο αφηρημένο πλαίσιο της θεωρίας των D-Πρότυπων, η ύπαρξη τέτοιων εξισώσεων εντάσσεται σε μια γενική συζήτηση της άμεσης εικόνας.

Εξισώσεις "που προκύπτουν από τη γεωμετρία"

Ολόκληρη η κατηγορία των συνδέσμων Γκάους - Μάνιν χρησιμοποιήθηκε για την προσπάθεια διατύπωσης της έννοιας των διαφορικών εξισώσεων που "προκύπτουν από τη γεωμετρία". Σε σχέση με την εικασία της p-καμπυλότητας του Γκρόθεντιεκ, ο Νίκολας Κατζ απέδειξε ότι η κλάση των συνδέσεων Γκάους-Μάνιν με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές ικανοποιεί την εικασία. Το αποτέλεσμα αυτό συνδέεται άμεσα με την έννοια της συνάρτησης Ζίγκελ G της θεωρίας υπερβατικών αριθμών, για λύσεις μερομορφικών συναρτήσεων. Η εικασία Μπομπιέρι - Ντουόρκ, που αποδίδεται επίσης στον Ιβ Αντρέ, η οποία δίνεται σε περισσότερες από μία εκδοχές, αξιώνει μια αντίστροφη κατεύθυνση: λύσεις ως συναρτήσεις G ή p-καμπυλότητα μηδενική mod p για σχεδόν όλους τους πρώτους p, σημαίνει ότι μια εξίσωση "προκύπτει από τη γεωμετρία".

Δημοσιεύσεις

• Πρότυπο:Citation (Gives and excellent introduction to Gauss–Manin connections)
• Πρότυπο:Citation (Gives example of Gauss–Manin connections and their relation to D-module theory and the Riemmann-Hilbert correspondence)
• Πρότυπο:Citation (Gives a quick sketch of main structure theorem of Gauss–Manin connections)
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation
• Πρότυπο:Citation English translation in Πρότυπο:Citation

Βιβλιογραφία

• Differential Algebraic Groups of Finite Dimension
• Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry
• "Modular And Automorphic Forms & Beyond"
• "Singularity Theory I"