Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Τραπέζιο

{{multiple image
 | align = right
 | width1 = 100px
 | width2 = 100px
 | image1 = Trapezium with diagonals el.svg
 | caption1 = Τραπέζιο <math>\mathrm{AB\Gamma\Delta}</math> με βάσεις τις <math>\mathrm{AB}</math> και <math>\mathrm{\Gamma\Delta}</math>. Οι <math>\mathrm{A\Gamma}</math> και <math>\mathrm{B\Delta}</math> είναι διαγώνιοι του.
 | image2 = Trapezium_with_heights_and_median_el.svg
 | caption2 = Το ύψος <math>u</math> του τραπεζίου και η διάμεσος <math>\mathrm{M_1M_2}</math>.
}}
Στην [[ευκλείδεια γεωμετρία]], '''τραπέζιο''' είναι το [[κυρτό σύνολο|κυρτό]] [[τετράπλευρο]] που έχει δύο πλευρές [[παράλληλες ευθείες|παράλληλες]]. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται '''βάσεις''' και η απόστασή τους '''ύψος''' του τραπεζίου. Τέλος το [[ευθύγραμμο τμήμα]] που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται '''διάμεσος''' του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της [[μεσοπαράλληλη]]ς των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το [[παραλληλόγραμμο]], το [[ισοσκελές τραπέζιο]] και το [[ορθογώνιο τραπέζιο]].

== Ιδιότητες ==

* Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.<ref name="N73">{{cite book |last=Νικολάου |first=Νικολαος Δ. |title=Θεωρητική Γεωμετρία |year=1973 |publisher=Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων |location=Αθήνα}}</ref><ref name="Tav">{{cite book |last=Ταβανλής |first=Χ. |title=Επίπεδος Γεωμετρία |publisher=Ι. Χιωτελη |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|103-107}}

{{μαθηματική απόδειξη|
[[Αρχείο:Trapezium with median and diagonal proof.svg|thumbnail|right|Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.|250px]]
Έστω <math>\mathrm{AB\Gamma\Delta}</math> ένα τραπέζιο με βάσεις <math>\mathrm{AB}</math>, <math>\mathrm{\Gamma\Delta}</math> και <math>\mathrm{A\Gamma}</math> η διαγώνιος. Από το μέσο <math>\mathrm{M}_1</math> της <math>\mathrm{A\Delta}</math> φέρνουμε ευθεία <math>\epsilon</math> παράλληλη προς την <math>\mathrm{\Delta\Gamma}</math>. Στο τρίγωνο <math>\mathrm{A\Delta\Gamma}</math>, η <math>\epsilon</math> διέρχεται από το μέσο της πλευράς <math>\mathrm{A\Delta}</math> και είναι παράλληλη στην πλευρά <math>\mathrm{\Gamma\Delta}</math>, άρα περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς <math>\mathrm{A\Gamma}</math>, ας το πούμε <math>\mathrm{E}</math>, και έτσι τα <math>\mathrm{M_1E}</math>, <math>\mathrm{\Gamma\Delta}/2</math> είναι ίσα και παράλληλα. Όμοια, στο τρίγωνο <math>\mathrm{AB\Gamma}</math> το <math>\mathrm{E}</math> είναι μέσο της <math>\mathrm{A\Gamma}</math> και η <math>\mathrm{EM_2}</math> παράλληλη στην <math>\mathrm{AB}</math>, άρα το <math>\mathrm{M}_2</math> θα είναι το μέσο της \mathrm{B\Gamma} και έτσι τα <math>\mathrm{M_2E}</math>, <math>\mathrm{AB}/2</math> ειναι ίσα και παράλληλα. Συνεπώς η <math>\mathrm{M_1M_2}</math> θα είναι η διάμεσος του τραπεζίου και θα ισχύει
{{Οεδ|:|<math>\mathrm{M_1M_2} = \mathrm{M_1E} + \mathrm{EM_2} \parallel = \frac{\mathrm{\Gamma\Delta}+\mathrm{AB}}{2}</math>.}}
}}

{{clear}}

* Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

{{Μαθηματική απόδειξη|
[[Αρχείο:Trapezium_with_median_and_two_diagonals_proof.svg|thumbnail|Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και τους αποκόπτει τμήμα ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.|250px]]
Για τους ίδιους λόγους όπως στην προηγούμενη ιδιότητα, το <math>\mathrm{Z}</math> είναι το μέσον της <math>\mathrm{B\Delta}</math>. Επομένως,
:<math>\mathrm{EZ} = \mathrm{M_1E} - \mathrm{M_1Z} = \frac{\mathrm{\Alpha\Beta} - \mathrm{\Gamma\Delta}}{2}</math>.
{{Οεδ|inline=true||Το <math>\mathrm{EZ}</math> είναι παράλληλο με τις βάσεις ως τμήμα της διαμέσου του τραπεζίου.}}
}}
== Εμβαδόν ==
Το [[εμβαδόν]] του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος, δηλαδή{{r|N73|p=164-169}}{{r|Tav|p=240-241}}
:<math>
  \mathrm{E} = \frac{1}{2} \cdot (\mathrm{AB} + \mathrm{\Gamma\Delta}) \cdot \mathrm{AA'}. 
</math>
Καμιά φορά γράφεται ως
:<math>\mathrm{E} = \frac{(B+\beta) \cdot \upsilon}{2}</math>,
όπου το κεφαλαίο <math>B</math> σηματοδοτεί την μεγάλη βάση και το μικρό <math>\beta</math> την μικρή.

{{Μαθηματική απόδειξη|
[[Αρχείο:Trapezium one diagonal two heights el.svg|right|thumb|Η διαγώνιος του <math>\mathrm{AB\Gamma\Delta}</math> χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα με ίσο ύψος.]]
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου:
:<math>\frac{1}{2} \cdot (\text{βάση}) \cdot (\text{ύψος})</math>.

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων <math>\mathrm{AB\Gamma}</math> και <math>\mathrm{\Gamma\Delta A}</math>:
:<math>
\begin{align}
\mathrm{E} 
  & = (\mathrm{AB\Gamma}) + (\mathrm{\Gamma\Delta A}) \\
  & = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{\Gamma \Gamma'} + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{\Gamma\Delta} \cdot \mathrm{AA'} \\
  & = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AB} \cdot \upsilon + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{\Gamma\Delta} \cdot \upsilon \\
  & = \frac{1}{2} \cdot (\mathrm{AB} + \mathrm{\Gamma\Delta}) \cdot \upsilon,
\end{align}
</math>
{{Οεδ||χρησιμοποιώντας ότι <math>\mathrm{AA'} = \mathrm{\Gamma\Gamma'} = \upsilon</math>.}}
}}
Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:
:<math>
\frac{1}{2} \cdot (\alpha + \gamma) \cdot \sqrt{\beta^2 - \frac{1}{4} \cdot \left( (\gamma - \alpha) - \frac{\beta^2 - \delta^2}{\gamma - \alpha} \right)}.
</math>
Το εμβαδόν του τραπεζίου επίσης ισούται με το γινόμενο της μίας μη-παράλληλης πλευράς και της απόστασης του μέσου της από την άλλη.

== Μετρικές σχέσεις ==

* Το ύψος ενός τραπεζίου με <math>\alpha < \gamma</math> δίνεται από τους τύπους
::<math>
\begin{align}
  u & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\gamma - \alpha} \cdot \sqrt{(-\alpha + \beta + \gamma + \delta) \cdot (\alpha + \beta - \gamma + \delta) \cdot (-\alpha-\beta+\gamma+\delta) \cdot (-\alpha+\beta+\gamma - \delta)} \\
  & = \sqrt{\beta^2 - \frac{1}{4} \cdot \left( (\gamma - \alpha) - \frac{\beta^2 - \delta^2}{\gamma - \alpha} \right)}.
\end{align}
</math>
{{μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
[[Αρχείο:Trapezium height derivation el.svg|right|thumb|200px]]
Θεωρούμε την παράλληλη <math>\mathrm{BE}</math> από το <math>\mathrm{B}</math> στο <math>\mathrm{AB}</math>. Επομένως, <math>\mathrm{BE} = \delta</math>. Από τον [[Τύπος του Ήρωνα|τύπο του Ήρωνα]] στο τρίγωνο <math>\mathrm{EB\Gamma}</math> έχουμε ότι 
:<math>
  u = \frac{2}{\gamma - \alpha} \cdot \sqrt{\tau \cdot (\tau - (\gamma - \alpha)) \cdot (\tau - \beta) \cdot (\tau - \delta)},
</math>
όπου <math>\tau = \tfrac{1}{2} \cdot (\beta + \delta + (\gamma - \alpha))</math>, η [[ημιπερίμετρος]] του τριγώνου <math>\mathrm{EB\Gamma}</math>. Αναδιατάσσοντας την παραπάνω παράσταση λαμβάνουμε τους ζητούμενους τύπους.
}}
* Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους
::<math>
\mathrm{B\Delta}^2 = \frac{1}{\gamma - \alpha} \cdot \sqrt{\alpha \beta^2 - \alpha \gamma^2 + \gamma \alpha^2 -\gamma \delta^2} \quad </math> και <math>\quad \mathrm{A\Gamma}^2 = \frac{1}{\gamma - \alpha} \cdot \sqrt{\alpha \delta^2 - \alpha \gamma^2 + \gamma \alpha^2 -\gamma \beta^2}.
</math>
{{μαθηματική απόδειξη|collapse=true|
Από τον [[Νόμος των συνημιτόνων|νόμο συνημιτόνων]] στα τρίγωνα <math>\mathrm{AB\Delta}</math> και <math>\mathrm{B\Gamma\Delta}</math>:
:<math>
  \left.
  \begin{align}
    \delta^2 & = \mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - 2\alpha \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi \\
    \beta^2 & = \mathrm{B\Delta}^2 + \gamma^2 - 2\gamma \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi
  \end{align}
  \right\} 
  \Rightarrow 
  \left.
  \begin{align}
    2 \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi & = \tfrac{1}{\alpha} \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - \delta^2) \\
    2 \cdot \mathrm{B\Delta} \cdot \cos \varphi & = \tfrac{1}{\gamma} \cdot (\mathrm{B\Delta}^2 + \alpha^2 - \beta^2)
  \end{align}
  \right\}.
</math>
Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.
}}

== Ανισοτικές σχέσεις ==

Σε ένα τραπέζιο <math>\mathrm{AB\Gamma\Delta}</math> με παράλληλες τις <math>\mathrm{AB}</math> και <math>\mathrm{\Gamma\Delta}</math>, ισχύει ότι:<ref>{{cite book |last=Αλεξίου |first=Κ. Τ. |title=Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α' |year=1975 |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|78}}{{r|N73|p=89-90}}{{r|Tav|p=103-107}}
:<math>
  |\mathrm{B\Delta} - \mathrm{A\Gamma}| < \mathrm{AB} - \mathrm{\Gamma\Delta} < \mathrm{B\Delta} + \mathrm{A\Gamma}.
</math>
και 
:<math>
 |\mathrm{AB} - \mathrm{\Gamma\Delta}| < \mathrm{B\Gamma} + \mathrm{A\Delta}.
</math>

== Ειδικές περιπτώσεις ==

[[Αρχείο:Isosceles_trapezium_el.svg|right|thumb|Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.]]
=== Ισοσκελές τραπέζιο ===
{{Κύριο|Ισοσκελές τραπέζιο}}
Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.
{{clear}}
=== Ορθογώνιο τραπέζιο ===
[[Αρχείο:Orthogonal_trapezium_el.svg|right|thumb|Ορθογώνιο τραπέζιο με <math>\hat{\mathrm{A}} = \hat{\mathrm{\Delta}} = 90^\circ</math>.]]
{{Κύριο|Ορθογώνιο τραπέζιο}}
Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες [[ορθή γωνία|ορθές]] λέγεται ορθογώνιο. 
{{clear}}
=== Παραλληλόγραμμο ===
[[Αρχείο:Parallelogram trapezium el.svg|right|thumb|Ένα παραλληλόγραμμο <math>\mathrm{AB\Gamma\Delta}</math>.]]
{{Κύριο|Παραλληλόγραμμο}}
Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες. 

=== Περιγεγραμμένο τραπέζιο ===
{{Κύριο|Περιγεγραμμένο τραπέζιο}}
Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

== Εφαρμογές ==

=== Τραπεζοειδής αποσύνθεση ===
Στην [[υπολογιστική γεωμετρία]], η τραπεζοειδής αποσύνθεση<ref>{{cite journal |last=Seidel |first=Raimund |title=A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons |journal=Computational Geometry |date=1 Ιουλίου 1991 |volume=1 |issue=1 |pages=51–64 |doi=https://doi.org/10.1016/0925-7721(91)90012-4}}</ref><ref>{{cite web |last=Choset |first=Howie |title=Robotic motion planning: Cell decompositions |url=https://www.cs.cmu.edu/~motionplanning/lecture/Chap6-CellDecomp_howie.pdf |publisher=CMU |accessdate=6 Αυγούστου 2023}}</ref> χωρίζει έναν χώρο με <math>n</math> αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα <math>xx'</math>. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν [[γράφος|γράφο]] που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

{{multiple image
 | align = center
 | width1=450
 | image1 = Trapezoidal decomposition.svg
 | caption1 = Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα <math>\mathrm{A}_1</math> και <math>\mathrm{A}_2</math> μέσα σε ένα πολύγωνο.
 | width2=400
 | image2 = Trapezoidal decomposition graph.svg
 | caption2 = Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.
}}

== Δείτε ακόμη ==
{{βικιλεξικό}}
* [[Ισοσκελές τραπέζιο]]
* [[Ορθογώνιο τραπέζιο]]
* [[Περιγεγραμμένο τραπέζιο]]
* [[Τετράπλευρο]]
* [[Παραλληλόγραμμο]]

== Παραπομπές ==
<references/>

{{τετράπλευρο}}
[[Κατηγορία:Τετράπλευρα|Τραπεζιο]]