Τραπέζιο

Πρότυπο:Multiple image Στην ευκλείδεια γεωμετρία, τραπέζιο είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται βάσεις και η απόστασή τους ύψος του τραπεζίου. Τέλος το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται διάμεσος του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της μεσοπαράλληλης των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το παραλληλόγραμμο, το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

Ιδιότητες

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.Πρότυπο:Rp

• Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος, δηλαδήΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$\mathrm{E}=\frac{1}{2}\cdot (\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta })\cdot \mathrm{A}{\mathrm{A}}^{\prime }.$

Καμιά φορά γράφεται ως

$\mathrm{E}=\frac{(B+\beta )\cdot \upsilon }{2}$,

όπου το κεφαλαίο $B$ σηματοδοτεί την μεγάλη βάση και το μικρό $\beta$ την μικρή.

Πρότυπο:Μαθηματική απόδειξη Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

$\frac{1}{2}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot \sqrt{{\beta }^2-\frac{1}{4}\cdot ((\gamma -\alpha )-\frac{{\beta }^2-{\delta }^2}{\gamma -\alpha })}.$

Το εμβαδόν του τραπεζίου επίσης ισούται με το γινόμενο της μίας μη-παράλληλης πλευράς και της απόστασης του μέσου της από την άλλη.

Μετρικές σχέσεις

• Το ύψος ενός τραπεζίου με $\alpha <\gamma$ δίνεται από τους τύπους

$\begin{array}{cc}u& =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\gamma -\alpha }\cdot \sqrt{(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}\\ & =\sqrt{{\beta }^2-\frac{1}{4}\cdot ((\gamma -\alpha )-\frac{{\beta }^2-{\delta }^2}{\gamma -\alpha })}.\end{array}$

• Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους

${\mathrm{B}\mathrm{\Delta }}^2=\frac{1}{\gamma -\alpha }\cdot \sqrt{\alpha {\beta }^2-\alpha {\gamma }^2+\gamma {\alpha }^2-\gamma {\delta }^2}$ και ${\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }}^2=\frac{1}{\gamma -\alpha }\cdot \sqrt{\alpha {\delta }^2-\alpha {\gamma }^2+\gamma {\alpha }^2-\gamma {\beta }^2}.$

Ανισοτικές σχέσεις

Σε ένα τραπέζιο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ με παράλληλες τις $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι:Πρότυπο:RpΠρότυπο:RΠρότυπο:R

$|\mathrm{B}\mathrm{\Delta }-\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }|<\mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }<\mathrm{B}\mathrm{\Delta }+\mathrm{A}\mathrm{\Gamma }.$

και

$|\mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }|<\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }+\mathrm{A}\mathrm{\Delta }.$

Ειδικές περιπτώσεις

Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.

Ισοσκελές τραπέζιο

Πρότυπο:Κύριο Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες. Πρότυπο:Clear

Ορθογώνιο τραπέζιο

Ορθογώνιο τραπέζιο με $\hat{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{\Delta }}=90^{\circ }$.

Πρότυπο:Κύριο Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο. Πρότυπο:Clear

Παραλληλόγραμμο

Ένα παραλληλόγραμμο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.

Πρότυπο:Κύριο Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες.

Περιγεγραμμένο τραπέζιο

Πρότυπο:Κύριο Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

Εφαρμογές

Τραπεζοειδής αποσύνθεση

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση χωρίζει έναν χώρο με $n$ αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα $x{x}^{\prime }$. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Δείτε ακόμη

• Ισοσκελές τραπέζιο
• Ορθογώνιο τραπέζιο
• Περιγεγραμμένο τραπέζιο
• Τετράπλευρο
• Παραλληλόγραμμο