Παράλληλες ευθείες

Δύο παράλληλες ευθείες ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$.

Στην γεωμετρία, παράλληλες ευθείες είναι δύο ευθείες του ίδιου επιπέδου που δεν έχουν κοινά σημεία.Πρότυπο:RpΠρότυπο:RpΠρότυπο:Rp

Δύο ευθείες ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$ που είναι παράλληλες συμβολίζονται ως ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_2$.

Ιδιότητες

• Έστω $\epsilon$ μία ευθεία και $\mathrm{P}$ ένα σημείο εξωτερικό αυτής. Υπάρχει μοναδική ευθεία που διέρχεται από το $\mathrm{P}$ και είναι παράλληλη στην $\epsilon$.
• Αν ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_2$, τότε και ${\epsilon }_2\parallel {\epsilon }_1$ (συμμετρική ιδιότητα).
• Αν ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_2$ και ${\epsilon }_2\parallel {\epsilon }_3$, και επιπλέον ${\epsilon }_1\ne {\epsilon }_3$, τότε ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_3$.
• Για καμία ευθεία $\epsilon$ δεν ισχύει ότι $\epsilon \parallel \epsilon$ (μη-ανακλαστική ιδιότητα).
• Αν ${\epsilon }_1\perp {\epsilon }_2$ και ${\epsilon }_1\perp {\epsilon }_3$, και επιπλέον ${\epsilon }_2\ne {\epsilon }_3$ τότε ${\epsilon }_2\parallel {\epsilon }_3$.
• Αν ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_2$ και ${\epsilon }_3\perp {\epsilon }_1$, τότε ${\epsilon }_3\perp {\epsilon }_2$
• Αν ${\epsilon }_1\parallel {\epsilon }_2$ και η ${\epsilon }_3$ τέμνει την ${\epsilon }_1$, τότε τέμνει και την ${\epsilon }_2$.
• Αν δύο γωνίες έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, τότε είναι ίσες ή παραπληρωματικές.

Δύο παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα

Οι ίσες γωνίες που δημιουργούνται όταν δύο παράλληλες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία.

Έστω δύο παράλληλες ευθείες $\delta$ και $\epsilon$ που τέμνονται από την ευθεία $\zeta$ στα σημεία $\mathrm{A}$ και $\mathrm{B}$. Τότε,

• οι εντός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες (${\hat{\mathrm{A}}}_3={\hat{\mathrm{B}}}_1$ και ${\hat{\mathrm{A}}}_4={\hat{\mathrm{B}}}_2$).
• οι εντός εκτός και επί τα αυτά είναι ίσες (${\hat{\mathrm{A}}}_1={\hat{\mathrm{B}}}_1$, ${\hat{\mathrm{A}}}_2={\hat{\mathrm{B}}}_2$, ${\hat{\mathrm{A}}}_3={\hat{\mathrm{B}}}_3$ και ${\hat{\mathrm{A}}}_4={\hat{\mathrm{B}}}_4$)
• οι εντός και επί τα αυτά είναι παραπληρωματικές (${\hat{\mathrm{A}}}_3=180^{\circ }-{\hat{\mathrm{B}}}_1$ και ${\hat{\mathrm{A}}}_4=180^{\circ }-{\hat{\mathrm{B}}}_2$).

Αναλυτική γεωμετρία

Συνθήκη παραλληλίας

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

$y={\lambda }_{1}x+{\beta }_1({\epsilon }_1)$,

$y={\lambda }_{2}x+{\beta }_2({\epsilon }_2)$,

είναι παράλληλες ανν

${\lambda }_1={\lambda }_2$ και ${\beta }_1\ne {\beta }_2$.

• Δύο ευθείες με εξισώσεις

$A_{1}x+B_{1}y+{\mathrm{\Gamma }}_1=0({\epsilon }_1)$,

$A_{2}x+B_{2}y+{\mathrm{\Gamma }}_2=0({\epsilon }_2)$,

είναι παράλληλες ανν

• $B_1=B_2=0$, $A_1,A_2\ne 0$ και ${\mathrm{\Gamma }}_1{A}_2\ne {\mathrm{\Gamma }}_2{A}_1$, ή
• $A_1{B}_2=A_2{B}_1$ και $B_1,B_2\ne 0$.

Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών

Η απόσταση μεταξύ δύο παράλληλων ευθειών ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$ είναι το μήκος του κόκκινου ευθυγράμμου τμήματος.

Πρότυπο:Κύριο Δύο παράλληλες ευθείες με εξισώσεις

$Ax+By+{\mathrm{\Gamma }}_1=0({\epsilon }_1)$,

$Ax+By+{\mathrm{\Gamma }}_2=0({\epsilon }_2)$,

έχουν απόσταση

$d=\frac{|{\mathrm{\Gamma }}_2-{\mathrm{\Gamma }}_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη

Κατασκευή παράλληλης στην $\epsilon$ που διέρχεται από δοσμένο σημείο $\mathrm{A}$.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη μία ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο $\mathrm{A}$ και είναι παράλληλη στην ευθεία $\epsilon$ ως εξής:

1. Διαλέγουμε ένα τυχόν σημείο $\mathrm{B}$ της $\epsilon$.
2. Διαγράφουμε τον κύκλο με κέντρο το $\mathrm{B}$ και ακτίνα $\mathrm{A}\mathrm{B}$ και εντοπίζουμε ένα κοινό του σημείο $\mathrm{\Gamma }$ με την $\epsilon$.
3. Με την ίδια ακτίνα, διαγράφουμε κύκλους με κέντρο το $\mathrm{\Gamma }$ και $\mathrm{A}$, οι οποίοι τέμνονται στο $\mathrm{B}$ και σε ένα άλλο σημείο, έστω $\mathrm{\Delta }$.
4. Η ευθεία που διέρχεται από τα $\mathrm{A}\mathrm{\Delta }$ είναι η παράλληλος (καθώς το $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$ είναι ρόμβος).

Θεωρήματα και σχετικές έννοιες

• (Θεωρημα Θαλή) Έστω ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$ δύο παράλληλες ευθείες, και $\mathrm{\Sigma }$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου, τότε για οποιεσδήποτε δύο ευθείες που διέρχονται από το $\mathrm{\Sigma }$ τέμνουν την ${\epsilon }_1$ στα σημεία $\mathrm{A}$ και $\mathrm{\Gamma }$, και την ${\epsilon }_2$ στα $\mathrm{B}$ και $\mathrm{\Delta }$, ισχύει ότι

$\frac{\mathrm{\Sigma }A}{AB}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}$.

Αντίστροφα, ισχύει ότι αν

$\frac{\mathrm{\Sigma }A}{AB}\mathrm{=}\frac{\mathrm{\Sigma }\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }}$,

τότε οι ευθείες ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$ είναι παράλληλες.

Ένα παραλληλόγραμμο $\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Delta }$.

• (Παραλληλόγραμμο) Ένα τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες λέγεται παραλληλόγραμμο.

Η μεσοπαράλληλη $\mu$ δύο παράλληλων ευθειών ${\epsilon }_1$ και ${\epsilon }_2$ αποτελείται από όλ τα σημεία που ισαπέχουν από τις δύο ευθείες.

• (Μεσοπαράλληλη ευθεία) Η μεσοπαράλληλος δύο παράλληλων ευθειών είναι η ευθεία που είναι παράλληλη στις δύο άλλες και ισαπέχει από αυτές.

Δείτε επίσης

• Κάθετες ευθείες
• Ασύμβατες ευθείες
• Αξίωμα παραλληλίας