Προβολή πηγαίου κώδικα για τη σελίδα Τριγωνικός πίνακας

Στην [[γραμμική άλγεβρα]], '''άνω τριγωνικός πίνακας''' είναι κάθε [[τετραγωνικός πίνακας|τετραγωνικός]] [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακας]] που έχει μόνο [[Μηδέν|μηδενικά]] στοιχεία κάτω από την [[Κύρια διαγώνιος πινάκων|κύρια διαγώνιο]].<ref name="ΧΦ15">{{cite book |last1=Χαραλάμπους |first1=Χ. |last2=Φωτιάδης |first2=Α. |title=Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες |year=2015 |publisher=ΣΕΑΒ |location=Αθήνα |isbn=978-960-603-273-8 |url=https://repository.kallipos.gr/handle/11419/2329}}</ref>{{rp|36}}<ref>{{cite book |last=Βουκούτης |first=Ν. |title=Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου |publisher=Δημόκριτος |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|8}}<ref>{{cite book |last=Βασιλειάδης |first=Π. |title=Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις |year=1983 |location=Θεσσαλονίκη}}</ref>{{rp|16}}<ref name="Κκ">{{cite book |last1=Κυριακόπουλος |first1=Α. Κ. |last2=Κυβερνητου-Κυριακοπουλου |first2=Χ. |title=Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες |publisher=Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου |location=Αθήνα}}</ref>{{rp|7}}<ref name="M15a">{{cite book |last=Μυριτζής |first=Ιωάννης |title=Δυναμικά συστήματα |year=2015 |publisher=ΣΕΑΒ |location=Αθήνα |isbn=978-960-603-423-7 |url=https://repository.kallipos.gr/handle/11419/4532}}</ref>{{rp|69}}<ref name="M15b">{{cite book |last=Μπράτσος |first=Α. |title=Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών |year=2015 |publisher=ΣΕΑΒ |location=Αθήνα |isbn=978-960-603-030-7 |url=https://repository.kallipos.gr/handle/11419/424}}</ref>{{rp|193}} Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας <math>U</math> διαστάσεων <math>n \times n</math> όπου τα στοιχεία <math>U_{ij} = 0</math> για κάθε <math>1 \leq j < i \leq n</math>. Για <math>n = 2, 3, 4</math> η γενική τους μορφή είναι:
:<math>
\underbrace{\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} \\
0 & U_{22}
\end{bmatrix}}_{2 \times 2 }
\quad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} & U_{13} \\
0 & U_{22} & U_{23} \\
0 & 0 & U_{33}
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\quad 
\underbrace{
\begin{bmatrix}
U_{11} & U_{12} & U_{13} & U_{14} \\
0 & U_{22} & U_{23} & U_{24} \\
0 & 0 & U_{33} & U_{34} \\
0 & 0 & 0 & U_{44}
\end{bmatrix}}_{4 \times 4}.
</math>
Αντίστοιχα, '''κάτω τριγωνικός πίνακας''' είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας <math>L</math> διαστάσεων <math>n \times n</math> όπου τα στοιχεία <math>L_{ij} = 0</math> για κάθε <math>1 \leq i < j \leq n</math>. Για <math>n = 2, 3, 4</math> η γενική τους μορφή είναι:
:<math>
\underbrace{\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 \\
L_{21} & L_{22}
\end{bmatrix}}_{2 \times 2 }
\quad
\underbrace{
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 & 0 \\
L_{21} & L_{22} & 0 \\
L_{31} & L_{32} & L_{33}
\end{bmatrix}}_{3 \times 3}
\quad 
\underbrace{
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 & 0 & 0 \\
L_{21} & L_{22} & 0 & 0 \\
L_{31} & L_{32} & L_{33} & 0 \\
L_{41} & L_{42} & L_{43} & L_{44}
\end{bmatrix}}_{4 \times 4}.
</math>
Ένας πίνακας λέγεται '''τριγωνικός''' αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

== Παραδείγματα ==

* Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί:
::<math>
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
0 & 3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 5 & 6 & 7 \\
0 & 0 & 8 & 9 \\
0 & 0 & 0 & 10
\end{bmatrix}.</math>
* Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί:
::<math>
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 0 \\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 0 \\
4 & 5 & 6 & 0 \\
7 & 8 & 9 & 10
\end{bmatrix}.</math>
* Κάθε [[διαγώνιος πίνακας]] είναι κάτω και άνω τριγωνικός. Επομένως, ο [[ταυτοτικός πίνακας]] και ο [[μηδενικός πίνακας]] είναι τριγωνικοί.
::<math>
  A = \begin{bmatrix}
    3 & 0 & 0 \\
    0 & 7 & 0 \\
    0 & 0 & -1
  \end{bmatrix}, \quad 
  I_2 = \begin{bmatrix}
    1 & 0 \\
    0 & 1
  \end{bmatrix}, \quad 
  I_3 = \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}, \quad 
  0_3 = \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 0 \\ 
    0 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 0
  \end{bmatrix}.
</math>
* Οι κορυφές ενός [[κατευθυνόμενος άκυκλος γράφος|Κατευθυνόμενου άκυκλου γράφου]] μπορούν να μετατεθούν ώστε ο [[πίνακας γειτνίασης]] του γράφου είναι τριγωνικός.

== Ιδιότητες ==

Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες:
* Ο [[ανάστροφος πίνακας]] ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός.
* Το [[πρόσθεση πινάκων|άθροισμα]] δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
* Το [[πολλαπλασιασμός πινάκων|γινόμενο]] δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
* Ο [[Αντίθετος αριθμός|αντίθετος]] ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός.
* Η [[ορίζουσα]] ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.
* Το [[χαρακτηριστικό πολυώνυμο]] ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο
::<math>p_L(x) = \mathrm{det}(xI - L) = (x - L_{11}) \cdot \ldots \cdot (x - L_{nn})</math>.
:Επομένως, οι [[Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα|ιδιοτιμές]] του πίνακα <math>L</math> είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.
* Ένας [[συμμετρικός πίνακας|συμμετρικός]] τριγωνικός πίνακας είναι [[διαγώνιος πίνακας|διαγώνιος]].

== Εφαρμογές ==

=== Επίλυση γραμμικών εξισώσεων===

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή <math>L \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> με αγνώστους <math>\mathbf{x}</math>. Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το <math>x_1</math>, μετά το <math>x_2</math> κ.ο.κ., χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους:
:<math>x_1 = \frac{b_1}{L_{11}}</math>,
:<math>x_2 = \frac{1}{L_{22}} \cdot \left( b_2 - L_{21} x_1 \right)</math>,
:<math>\quad \vdots </math>
:<math>x_n = \frac{1}{L_{nn}} \cdot \left( b_n - L_{n1} x_1 - \ldots - L_{n(n-1)} x_{n-1} \right)</math>.
Παρατηρήστε ότι στο <math>i</math>-οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του <math>x_i</math> χρησιμοποιώντας τις τιμές των <math>x_1, \ldots , x_{i-1}</math> (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά <math>\mathcal{O}(n^2)</math> πράξεις.

== Αυστηρά τριγωνικός ==

Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται '''αυστηρά άνω τριγωνικός''', αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν '''αυστηρά κάτω τριγωνικό''' πίνακα. 

== Δείτε επίσης ==
* [[Αποσύνθεση LU]]

== Παραπομπές ==
<references/>

[[Κατηγορία:Αριθμητική γραμμική άλγεβρα]]
[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)]]